Giáo trình Giải tích số: Phần 2

Phần 2 giáo trình "Giải tích số" gồm nội dung các chương: Chương 6 - Giải phương trình đại số và siêu việt, chương 7 - Phương pháp số trong Đại số tuyến tính, chương 8 - Giải gần đúng phương trình vi phân thường, chương 9 - Giải gần đúng các bài toán phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp sai phân, chương 10 - Phương trình tích phân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích số: Phần 2 Chương VI G I Ả I P H Ư Ơ N G T R Ì N H Đ Ạ I s ố VÀ SIÊU V I Ệ T § 1 . Mờ đầu. T r o n g c h ư ơ n g n à y . c h ú n g t a sẽ n g h i ê n c ứ u m ộ t số p h ư ơ n g p h á p g i ả i p h ư ơ n g trình m ộ t b i ế n số: f ( x ) = 0 , (1.1) t r o n g đ ó f ( x ) l à h à m số ( đ a i số h a y s i ê u v i ê t ) . P h ư ơ n g t r ì n h (1.1), t r ừ m ộ t số t r ư ờ n g h ợ p đặc b i ệ t có c ô n g t h ứ c giải đ ú n g , nói c h u n g rất p h ứ c t ạ p , do đ ó t a p h ả i t ì m c á c h g i ả i g ầ n đ ú n g . N g o à i r a , c á c h ệ s ố c ủ a f ( x ) t r o n g t h ự c t ế chỉ b i ế t g ầ n đ ú n g , vì t h ế v i ệ c g i ả i đ ú n g (1.1) c h ẳ n g n h ữ n g k h ô n g t h ự c h i ệ n n ố i m à n h i ề u k h i k h ô n g có ý nghĩa. T h ô n g t h ư ờ n g , q u á t r ì n h g i ả i p h ư ơ n g t r ì n h (1.1) bao g ồ m h a i bước: Ì ) Bước giải sơ bộ : 0 ' g i a i đ o ạ n n à y , t a t ì m m ó t k h o ả n g đ ù b é c h ứ a * n g h i ệ m c ù a /(*). 2) Bước giải kiện toàn: T ì m nghiệm với đ ô chính xác cần thiết. Đ ể g i ả i s ơ b ộ p h ư ơ n g t r ì n h (1.1) ta có t h ể sử d ụ n g c á c p h ư ơ n g p h á p đ ơ n g i ả n n h ư p h ư ơ n g p h á p chia đôi v à p h ư ơ n g p h á p đ ô t h i . 1.1. P h ư ơ n g p h á p c h i a đ ô i . G i ả s ử h à m số f ( x ) l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [a, b] v à f ( a ) f ( b ) < 0. G ọ i A : = [ a , bị, 0 ta c h i a đ ò i Ao v à c h ọ n A i = [ a i , ồ]] l à m ộ t t r o n g h a i l u m c ủ a Ao sao c h o Ị{a\)f{b\) < 0. Nói chung ờ b ư ớ c t h ứ n , ta có: A n = [a ,b ] n n c A„-1 c ••• c Ai c Ao- Ngoài ra &n — a n = (b — rt)/2 —• 0 (ri —> c o ) . D ễ t h ấ y d ã y {a } n đ ơ n đ i ệ u t ă n g , bị chặn t r ê n b ở i b c ò n d ã y {b } n đ ơ n đ i ệ u g i ả m , b ị c h ặ n d ư ớ i b ở i a. H ơ n nữa, d o bu — a n —> 0 suy ra ữniK —> £ ( n —V o o ) . 2 Vì f ( a ) f ( b ) < 0 n ê n cho n —> co, t a c ó [f(ỉ,)} n n < 0, suy r a / ( £ ) - 0. Ngoài ra ta c ó ư ớ c l ư ợ n g sai số sau: b - a 0 < ị - a n < b„ - a n = Ư u đ i ể m của p h ư ơ n g p h á p chia đôi là t h u ậ t t o á n r ấ t đ ơ n giản, do đ ó d ễ l ậ p t r ì n h t r ê n máy tính. M ặ t k h á c vì p h ư ơ n g p h á p c h i a đ ô i s ử d ụ n g r ấ t ít t h ô n g t i n v ề h à m / n ê n t ố c đ ộ h ộ i tụ khá chậm. Sơ đ o t í n h toán: 95 yes \ ò= X a = X f V í du. 4 3 f(x)= x +2x - x - l . Do /(0) = - l ; /(1) = 1 nen e € (0,1) /(0.5) •1.19; /(0.75) = -0.59; /(0.875) = 0.05; /(0.8125) = -0.304 /(0.8438) = -0.135; /(0.8594) = 0.043. 96 í ~ ^(0.859 + 0.875) = 0.867. 1.2. P h ư ơ n g p h á p đ ồ thị. V ẽ đồ thị h à m số y = / ( x ) trên giấy kẻ ô vuông. Hoành đô của giao đ i ể m của đồ thị nói trên^với trục hoành chính là nghiệm cần tìm. Nhiều khi ta b i ế n ...