Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa)

Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa) được biên soạn gồm các nội dung chính sau: phép tính vi phân trong R; lí thuyết đường trong mặt phẳng và không gian; lí thuyết mặt trong không gian. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Hình học vi phân (Dành cho hệ đào tạo từ xa) §¹i Häc HuÕ Trung t©m ®µo t¹o tõ xa ts. TrÇn ®¹o dâng - ts. TrÇn vui - ts. lª anh vò Gi¸o tr×nh H×nh häc vi ph©n S¸ch dïng cho hÖ ®µo t¹o tõ xa HuÕ - 2008 1 Lêi nãi ®Çu H×nh häc vi ph©n lµ mét ngµnh cña h×nh häc trong ®ã c¸c ®èi t­îng h×nh häc ®­îc nghiªn cøu b»ng ph­¬ng ph¸p cña gi¶i tÝch to¸n häc mµ tr­íc hÕt ®ã lµ phÐp tÝnh vi ph©n. C¸c ®èi t­îng quan träng nhÊt cña h×nh häc vi ph©n lµ c¸c ®­êng, c¸c mÆt trong kh«ng gian Euclide th«ng th­êng vµ c¸c hä (liªn tôc) cña chóng. NÕu h×nh häc s¬ cÊp vµ h×nh häc gi¶i tÝch nãi riªng, h×nh häc tuyÕn tÝnh (tæng qu¸t nhiÒu chiÒu cña h×nh häc s¬ cÊp) nãi chung còng nghiªn cøu c¸c ®­êng, c¸c mÆt mét c¸ch t¸ch biÖt hoÆc ®«i khi còng kh¶o s¸t mét vµi hä ®Æc biÖt nµo ®ã cña ®­êng vµ mÆt th× bao qu¸t h¬n h¼n lµ h×nh häc vi ph©n ­u tiªn kh¶o s¸t tÊt c¶ c¸c ®­êng, c¸c mÆt bÊt k× miÔn lµ cã thÓ m« t¶ chóng b»ng c¸c ph­¬ng tr×nh gi¶i tÝch. §Æc tr­ng c¬ b¶n cña h×nh häc vi ph©n lµ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt cña c¸c ®èi t­îng h×nh häc (c¸c ®­êng, c¸c mÆt vµ c¸c hä cña chóng). C¸c tÝnh chÊt nµy ®­îc gäi lµ c¸c tÝnh chÊt vi ph©n. PhÇn ®Çu trong h×nh häc vi ph©n ng­êi ta nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi t­îng h×nh häc mµ c¸c tÝnh chÊt nµy kh«ng thay ®æi (bÊt biÕn) qua c¸c phÐp biÕn h×nh. PhÇn nµy cña h×nh häc vi ph©n gäi lµ h×nh häc cæ ®iÓn. C¸c h­íng nghiªn cøu míi cña h×nh häc vi ph©n bao gåm : 1) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi t­îng h×nh häc trong kh«ng gian Euclide bÊt biÕn ®èi víi c¸c phÐp affine, x¹ ¶nh hay c¸c biÕn ®æi kh¸c. 2) LÝ thuyÕt nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vi ph©n cña c¸c ®èi t­îng h×nh häc trong kh«ng gian phi Euclide. Lo¹i bá c¸c tÝnh chÊt riªng biÖt cña c¸c ®èi t­îng h×nh häc ®­îc nghiªn cøu trong h×nh häc vi ph©n, tæng qu¸t ho¸ c¸c tÝnh chÊt chung 2 nhÊt cña chóng, ng­êi ta ®i ®Õn kh¸i niÖm ®a t¹p vi ph©n chøa c¸c kh¸i niÖm vÒ c¸c ®­êng, c¸c mÆt, hä c¸c ®­êng, c¸c mÆt trong kh«ng gian Euclide vµ phi Euclide còng nh­ chÝnh c¸c kh«ng gian Êy nh­ lµ c¸c tr­êng hîp ®Æc biÖt. Nh­ vËy, c¸c ®a t¹p vi ph©n chÝnh lµ c¸c ®èi t­îng tæng qu¸t cña h×nh häc vi ph©n. Gi¸o tr×nh nµy ®­îc viÕt trªn c¬ së tãm l­îc nh÷ng bµi gi¶ng vÒ h×nh häc vi ph©n mµ c¸c t¸c gi¶ ®· gi¶ng trong nhiÒu n¨m t¹i Khoa To¸n Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m HuÕ, cã c©n nh¾c ®Õn tÝnh võa søc ®èi víi c¸c ®èi t­îng míi-c¸c häc viªn ®µo t¹o tõ xa. VÒ bè côc vµ néi dung, gi¸o tr×nh gåm 3 ch­¬ng : Ch­¬ng 1 : PhÐp tÝnh vi ph©n trong n. Ch­¬ng 2 : LÝ thuyÕt ®­êng trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. Ch­¬ng 3 : LÝ thuyÕt mÆt trong kh«ng gian. Ngoµi ra cßn cã mét hÖ thèng bµi tËp sau mçi ch­¬ng vµ phÇn h­íng dÉn gi¶i bµi tËp. Ch­¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc c¬ së, Ch­¬ng 2 vµ Ch­¬ng 3 dµnh cho viÖc giíi thiÖu nh÷ng néi dung c¬ b¶n nhÊt cña lÝ thuyÕt c¸c ®­êng vµ mÆt trong mÆt ph¼ng vµ kh«ng gian. Do khu«n khæ h¹n chÕ cña gi¸o tr×nh, ®ång thêi còng ®Ó phï hîp víi ®èi t­îng, chóng t«i ®· kh«ng ®­a vµo phÇn nhËp m«n vÒ lÝ thuyÕt c¸c ®a t¹p vi ph©n còng nh­ c¸c kiÕn thøc c¬ së kh¸c cã liªn quan. V× lµ lÇn ®Çu tiªn biªn so¹n cho hÖ ®µo t¹o míi nªn ch¾c ch¾n kh«ng thÓ tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt. C¸c t¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®­îc nhiÒu ý kiÕn ®ãng gãp cña ®ång nghiÖp gÇn xa còng nh­ cña b¹n ®äc víi môc ®Ých chung lµ gãp phÇn cïng Trung t©m §µo t¹o tõ xa cña §¹i häc HuÕ cã méthÖ thèng gi¸o tr×nh hoµn thiÖn h¬n. C¸c t¸c gi¶ ch©n thµnh c¶m ¬n PTS. Lª V¨n ThuyÕt ®· ®äc vµ cho nh÷ng gãp ý gióp hoµn thiÖn gi¸o tr×nh nµy. HuÕ, th¸ng 12 n¨m 1997 C¸c t¸c gi¶ 3 H­íng dÉn ®äc gi¸o tr×nh (dµnh cho häc viªn) §Ó cã thÓ ®äc tèt gi¸o tr×nh nµy, häc viªn cÇn ph¶i n¾m v÷ng nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ §¹i sè tuyÕn tÝnh, vÒ c¸c bé m«n H×nh häc cao cÊp vµ H×nh häc gi¶i tÝch (Affine, Euclide) vµ phÐp tÝnh vi tÝch ph©n mét chiÒu. VÒ ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu gi¸o tr×nh, häc viªn cÇn l­u ý mét sè ®iÓm sau : 1. §äc thËt cÈn thËn lÝ thuyÕt, ®Æc biÖt lµ c¸c kh¸i niÖm, nhËn xÐt, c¸c tÝnh chÊt, ®Þnh lÝ. C¸c nhËn xÐt sau mçi kh¸i niÖm hay ®Þnh lÝ th­êng lµ nh÷ng bæ sung, gi¶i thÝch nh»m gióp viÖc hiÓu vµ vËn dông c¸c kh¸i niÖm, ®Þnh lÝ ®­îc s©u s¾c h¬n. 2. Cè g¾ng ®éc lËp gi¶i c¸c bµi tËp tr­íc khi xem h­íng dÉn. HoÆc Ýt ra còng nªn tù gi¶i l¹i cÈn thËn bµi tËp sau khi ®· xem h­íng dÉn. C¸c t¸c gi¶ mong vµ chóc c¸c b¹n thµnh c«ng. 4 Häc phÇn : H×nh häc vi ph©n Ch­¬ng 1 PhÐp tÝnh vi ph©n trong n §1. S¬ l­îc vÒ T«P« trong n. 1.1. Nh¾c l¹i c¸c kh«ng gian n vµ n TËp hîp n = x = (x1, ..., xn)x1, ..., xn   víi hai phÐp to¸n     x 1 , ..., x n  y1 , ..., y n     :  x 1  y1 , ..., x n  y n  1 . x , ..., x  n :   x , ..., x  ,    1 n lËp thµnh mét kh«ng gian vector n - chiÒu trªn . C¬ së chÝnh t¾c cña n lµ e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), ..., en = (0, ..., 0, 1). Cã thÓ xem n lµ kh«ng gian affine n - chiÒu liªn kÕt víi chÝnh nã bëi ¸nh x¹ liªn kÕt   (x, y)  xy = y - x, x, y  n. Trong ...