Giáo trình môn xử lý tín hiệu số - Chương 5

Phép biến đổi Fourior rời rạc. I. Mở đầu: Từ trớc tới nay chúng ta đã học nhiều loại biến đổi Fourier nh sau: 1. Chuỗi Fourier,áp dụng cho tín hiệu liên tục và tuần hoàn. 2. Tích phân Fourier dùng cho tín hiệu liên tục và không tuần hoàn. 3. Biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc vừa đợc trình bầy ở chơng 1. Phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc, X(f), về mặt lý thuyết cho ta những công thức giải tích gọn và đẹp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình môn xử lý tín hiệu số - Chương 5 Ch¬ng 3 PhÐp biÕn ®æi Fourior rêi r¹c. I. Më ®Çu: Tõ tríc tíi nay chóng ta ®· häc nhiÒu lo¹i biÕn ®æi Fourier nh sau: 1. Chuçi Fourier,¸p dông cho tÝn hiÖu liªn tôc vµ tuÇn hoµn. 2. TÝch ph©n Fourier dïng cho tÝn hiÖu liªn tôc vµ kh«ng tuÇn hoµn. 3. BiÕn ®æi Fourier cña tÝn hiÖu rêi r¹c võa ®îc tr×nh bÇy ë ch¬ng 1. PhÐp biÕn ®æi Fourier cña tÝn hiÖu rêi r¹c, X(f), vÒ mÆt lý thuyÕt cho ta nh÷ng c«ng thøc gi¶i tÝch gän vµ ®Ñp. Nã ®îc sö dông réng r·i khi nghiªn cøu c¸c tÝn hiÖu viÕt ®îc díi d¹ng gi¶i tÝch. Tuy nhiªn nã cã mét sè h¹n chÕ khi ¸p dông trong thùc tÕ khi ch¹y ch¬ng tr×ng m¸y tÝnh. Cô thÓ lµ: 1. §é dµi tÝn hiÖu sè( sè mÉu tÝn hiÖu ®em ph©n tÝch) lµ v« cïng. Trong khi ®é dµi tÝn hiÖu trong thùc tÕ bao giê còng lµ h÷u h¹n. 2. BiÕn ®éc lËp f ( tÇn sè) cña X(f) lµ mét biÕn liªn tôc, trong khi ®ã viÖc sö lý tÝn hiÖu trªn m¸y tÝnh bao giê còng ph¶i ®îc rêi r¹c ho¸, sè ho¸. Do tÇm quan träng to lín cña phÐp biÕn ®æi Fourier nªn ngêi ta ®· t×m c¸ch kh¾c phôc c¸c h¹n chÕ trªn b»ng c¸ch ®a nã vÒ d¹ng thÝch hîp. §ã lµ phÐp biÕn ®æi Fourier rêi r¹c cña tÝn hiÖu cã ®é dµi h÷u h¹n vµ cã trôc tÇn sè còng ®îc rêi r¹c ho¸, thêng ®îc gäi mét c¸ch ng¾n gän lµ phÐp biÕn ®æi Fourier rêi r¹c, ®îc viÕt t¾t trong tiÕng Anh lµ DFT, lµ mét thuËt ng÷ ®îc dïng phæ biÕn. CÇn ph©n biÖt víi tªn gäi “ phÐp biÕn ®æi Fourier cña tÝn hiÖu rêi r¹c” mµ ta ®· nghiªn cøu ë ch¬ng 1. Ngoµi ý nghÜa vÒ mÆt lý thuyÕt, DFT cßn ®ãng vai trß rÊt quan träng trong thùc tÕ xö lý tÝn hiÖu sè do tån t¹i c¸ch tÝnh DFT rÊt hiÖu qu¶, tèc ®é nhanh mµ ta sÏ dµng h¼n mét ch¬ng ®Ó tr×nh bµy (ch¬ng DFT). Sau ®ã chóng ta sÏ nghiªn cøu c¸c tÝnh chÊt vµ øng dông cña nè. §ã lµ néi dung chÝnh cña ch¬ng nµy. Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p dÉn d¾t ®Õn phÐp biÕn ®æi ã nhiÒu ph¬ng ph¸p rêi r¹c (DFT) nh: - Tõ phÐp biÕn ®æi cña tÝn hiÖu rêi r¹c nhng tuÇn hoµn, tøc lµ chuçi ã nhiÒu ph¬ng ph¸p rêi r¹c. - Trùc tiÕp trôc tÇn sè cña X(f). Chóng ta sÏ lµm theo c¸ch ®Çu, sau ®ã xem xÐt thªm c¸c c¸ch sau. II. Chuçi Fourier rêi r¹c cuat tÝn hiÖu rêi r¹c tuÇn hoµn Chóng ta ®· lµm quen víi kh¸i niÖm chuçi Fourier vµ tÝch ph©n Fourier ®èi víi tÝn hiÖu t¬ng tù. ý tëng chñ ®¹o cña viÖc ph©n tÝch Fourier lµ ph©n tÝch hµm tÝn hiÖu thµnh c¸c hµm ®iÒu hoµ (thùc hoÆc phøc). §èi víi tÝn hiÖu rêi r¹c còng vËy, ta vÉn sö dông ý tëng chñ ®¹o trªn: Ph©n tÝch tÝn hiÖu rêi r¹c thµnh tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c hµm ®iÒu hoµ. Còng t¬ng tù nh khi ph©n tÝch tÝn hiÖu t¬ng tù, ta h·y xem xÐt viÖc khai triÓn Fourierd·y tÝn hiÖu tuÇn hoµn thµnh chuçi. TÝn hiÖu tuÇn hoµn Xp (n)lµ tuÇn hoµn víi chu kú N nÕu Xp (n)=Xp (n+N) víi mäi n ( chØ sè p chØ period: tuÇn hoµn). §èi víi tÝn hiÖu rêi r¹c, chóng ta sÏ khai triÓn Fourier theo hµm: j( 2 πk / N ) n ξ k (n) = e k = 0, ± 1, ±2… (3.1) Ta thÊy toµn bé tËp hîp tÝn hiÖu e mò phøc nµy ®Òu lµ hµm tuÇn hoµn víi chu kú N: ξ k (n) = ξ k (n+ lN) l nguyªn (3.2) TÊt c¶ c¸c tÝn hiÖu nµy ®Òu cã tÇn sè lµ b éi cña tÇn sè c¬ b¶n, 2π/N, do vËy chóng cã quan hÖ ®iÒu hoµ víi nhau. §iÓm kh¸c biÖt quan träng cña c¸c tÝn hiÖu nµy so víi tÝn hiÖu t¬ng tù lµ: Trong khi tÊt c¶ c¸c hµm ®iÒu hoµ liªn tôc cã tÇn sè kh¸c nhau th× ph©n biÖt víi nhau, cßn c¸c hµm ®iÒu hoµ phøc rêi r¹c chØ cã NtÝn hiÖu ph©n biÖt víi nhau v× c¸c tÝn hiÖu sai kh¸c nhau lµ béi cña N th× ®Òu nh nhau: j( 2 πk / N ) n ξ k(n) = ξ k ± N (n) = ξ k ± 2 N (n) = e (3.3) B©y giê chóng ta muèn triÓn khai tÝn hiÖu tuÇn hoµn x(n) thµnh: ∑ a k ξk ∑ak e j(2πk / N ) n x p (n) = (n) = (3.4) k k Do ξ k (n) chØ ph©n biÖt ®îc víi N gi¸ trÞ liªn tôc cña k nªn tæng trªn chØ cÇn tÝnh trong kho¶ng nµy: tæng tÝnh theo biÕn ch¹y k thai ®æi trong mét gi¶i N nguyªn tè kÒ nhau liªn tôc, vµ ®Ó cho tiÖn ta ký hiÖu k = nghÜa lµ k cã thÓ lÊy k= 0,1,…, N- 1, hoÆc k = 2,3,…,N+2 hoÆc tæng qu¸t h¬n: k = k 0 , k 0 + N-1 víi k 0 lµ sè nguyªn tuú ý. ∑ a k e j(2 πk / N ) n x p (n) = k =< N > (3.5) C«ng thøc (3.5) trªn ®îc gäi lµ chuçi Fourier rêi r¹c (DFS) cña tÝn hiÖu tuÇn hoµn vµ rêi r¹c x p (n), trong ®ã c¸c hÖ sè a k lµ c¸c hÖ sè khai triÓn chuçi Fourier rêi r¹c hay cßn ®îc gäi lµ c¸c v¹ch phæ cña tÝn hiÖu tuÇn hoµn. Ta thÊy ngay còng chØ cã N hÖ sè a k mµ th«i. §Ó cho tiÖn víi quy íc tÝnh biÕn ®æi Fourier rêi r¹c ta viÕt l¹i (3.5) víi x p (k) thay cho a k nh sau: 1 ∑ X p (k )e j(2πk / N ) n x p (n) = N k =< N > (3.6) Cô thÓ lµ: 1 ∑ X p (k ) x p (0) = N k =< N > 1 ∑ X p (k )e j(2πk / N ) x p (1) = N k =< N > …………… 1 ∑ X p (k )e j(2πk ...