Giáo trình Toán A3: Phần 1

Giáo trình Toán A3 phần 1 cung cấp cho người học các kiến thức: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến, tích phân bội, vi phân cấp cao, đạo hàm riêng,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán A3: Phần 1 MỤC LỤC MỤC LỤC 1 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN §1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN . . . . . . . . . . 1.1 Các ví dụ mở đầu . . . . . . . . . . . . . 1.2 Không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Định nghĩa hàm nhiều biến . . . . . . . 1.4 Đồ thị hàm hai biến . . . . . . . . . . . . §2 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . 2.1 Sự hội tụ trong Rn . . . . . . . . . . . . . 2.2 Giới hạn của hàm nhiều biến . . . . . . 2.3 Một số phương pháp tìm giới hạn hàm §3 HÀM SỐ LIÊN TỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Khái niệm liên tục . . . . . . . . . . . . . 3.2 Liên tục theo từng biến . . . . . . . . . . §4 ĐẠO HÀM RIÊNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Tính khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Đạo hàm hàm hợp . . . . . . . . . . . . §5 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO . . . . . . . . 5.1 Đạo hàm cấp cao . . . . . . . . . . . . . 5.2 Vi phân cấp cao . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Công thức Taylor . . . . . . . . . . . . . . §6 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN . . . . . . . . 6.1 Cực trị địa phương . . . . . . . . . . . . . 6.2 Cực trị có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hai biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 1 3 3 3 4 5 5 7 7 8 8 9 9 10 11 11 12 14 15 15 16 16 17 17 20 23 2 TÍCH PHÂN BỘI §1 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP VÀ TÍNH CHẤT . . . . . . . . . 1.1 Bài toán mở đầu và định nghĩa tích phân kép . . . . 1.2 Tính chất của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ ĐỀ CÁC . . . . . . . . . 2.1 Miền lấy tích phân là hình chữ nhật (D = [a, b] × [c, d]) 2.2 Miền lấy tích phân là miền bị chặn . . . . . . . . . . . §3 ĐỔI BIẾN SỐ TRONG TÍCH PHÂN KÉP . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . 26 26 26 28 28 29 31 33 §4 §5 3.1 Công thức đổi biến số . . . . . . . . 3.2 Tích phân kép trong hệ tọa độ cực TÍCH PHÂN BA LỚP . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Khái niệm tích phân ba lớp . . . . . 4.2 Cách tính tích phân ba lớp . . . . . ĐỔI BIẾN TRONG TÍCH PHÂN BA LỚP . . 5.1 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . 5.2 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 2 33 37 41 42 43 45 45 47 49 3 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Phương trình của một đường cong phẳng (nếu được giới hạn gọi là cung phẳng) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Định nghĩa tích phân đường loại I . . . . . . . . . . . . . 1.3 Công thức tính tích phân đường loại I . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Định nghĩa và công thức tính tích phân đường loại II . 2.2 Định lý Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Điều kiện để tích phân đường loại II không phụ thuộc vào đường lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 3 51 51 51 52 53 57 57 59 60 61 4 TÍCH PHÂN MẶT §1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Định nghĩa tích phân mặt loại I . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Đưa tích phân mặt loại I về tích phân hai lớp thông thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . §2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 Mặt định hướng và mặt tham số . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Đưa tích phân mặt loại II về tích phân hai lớp . . . . . 2.3 Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bài Tập Chương 4 65 65 65 65 67 67 68 70 72 75 2 CHƯƠNG 1 PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Chúng ta đã nghiên cứu về hàm một biến y = f (x), với y là đại lượng phụ thuộc vào biến độc lập x. Trong thực tế, ta thường gặp những đại lượng không chỉ phụ thuộc vào một mà phụ thuộc vào nhiều biến độc lập. Đây chính là dạng của hàm nhiều biến được trình bày trong chương này. §1 1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Các ví dụ mở đầu Trong quá trình tính toán, để xác định một dữ kiện nào đó, ta thường phải xác định nhiều thông số. Ví dụ 1.1.1. Thể tích của hình trụ có bán kính r và chiều cao h là V = πr2 h. Như vậy, để tính được thể tích của hình trụ, ta cần xác định hai thông số đó là r và h. Ta có thể biểu diễn thể tích V như sau V : (r, h) 7→ V = f (r, h) = πr2 h. Ứng với mỗi cặp số (r, h), biểu thức V = f (r, h) = πr2 h xác định một giá trị thực (thuộc R), người ...