Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số nhiều biến số; Phương trình vi phân; Không gian vectơ; Ma trận và định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An CHƯƠNG 5. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 5.1 Các khái niệm cơ bản 5.1.1. Hàm số hai biến số 5.1.1.1. Khái niệm hàm số hai biến số. Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào một biến số khác: mỗi giá trị của biến độc lập được đặt tương ứng với một giá trị của biến phụ thuộc. Trong thực tế, nhiều khi một biến số phụ thuộc không chỉ vào một mà còn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác. Ví dụ: sản lượng, tức là số lượng sản phẩm của một nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng các yếu tố đầu vào như lao động, vốn, … Khái niệm hàm số n biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số vào n biến số khác. Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n = 2. Cho một cặp biến số có thứ tự (x; y), ta có thể đồng nhất mỗi cặp số với một điểm M(x; y) của mặt phẳng. Mặt phẳng tọa độ được gọi là không gian hai chiều và ký hiệu là  2 . Theo quan điểm này, một cặp biến số (x; y) được xem như một biến điểm M(x; y) với miền biến thiên là một tập hợp D của không gian 2 . Định nghĩa 1. Một hàm số f của biến điểm M(x; y), với miền biến thiên D   2 , là quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M(x; y) D với một và chỉ một số thực z. Miền D được gọi là miền xác định của hàm số f, số thực z ứng với điểm M(x; y) được gọi là giá trị của hàm f tại M(x; y) và được ký hiệu là f(M) hoặc f(x; y). Hàm f được xác định như trên được gọi là hàm số hai biến số x và y. x, y được gọi là các biến số độc lập; z là biến số phụ thuộc hàm số vào các biến x, y. Khi cho một hàm hai biến, các cách diễn đạt sau là như nhau: - Hàm số f xác định trên miền D   2 ; - Hàm số f(M), M  D; - Hàm số f(x; y), (x; y)  D; - Hàm số z = f(x; y), (x; y)  D. 5.1.1.2. Miền xác định của hàm số - 93 - Miền xác định của hàm hai biến z = f(x; y) là miền biến thiên của biến điểm M. Nếu biểu diễn hình học thì miền biến thiên là một tập hợp trong mặt phẳng tọa độ. Thông thường một hàm của hai biến x, y được cho dưới dạng một biểu thức f(x; y). Mỗi biểu thức có một miền xác định tự nhiên của nó. Miền xác định tự nhiên của một biểu thức tập hợp tất cả các cặp số thực (x; y) mà biểu thức đó có nghĩa khi ta gán các giá trị x, y. Nói chung miền xác định của một hàm hai biến cho dưới dạng biểu thức có thể là tập con D bất kỳ của miền xác định tự nhiên của biểu thức đó. Ta quy ước, nếu không nói gì thêm về miền xác định của một biểu thức thì miền xác định của nó được hiểu là miền xác định tự nhiên. Ví dụ 5.1: Miền xác định của hàm số z = x + y là toàn bộ mặt phẳng x0y. Ví dụ 5.2: Miền xác định của hàm số z  ln4  x2  y2  là tập tất cả các điểm M(x; y) thỏa mãn điều kiện x2 + y2 < 4. Như vậy miền xác định là hình tròn có tâm ở gốc tọa độ có bán kính r = 2, không kể các điểm trên đường tròn. 5.1.1.3. Đồ thị hàm hai biến. Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) trong không gian ba chiều, ta dùng hệ tọa độ vuông góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y và trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z. Miền xác định D của hàm số z = f(x; y) là một tập hợp điểm trên mặt phẳng (0xy). Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng một giá trị của hàm số z, theo đó ta có tương ứng một điểm P(x; y; z) trong không gian. Định nghĩa 2. Đồ thị của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm P(x; y; z) trong không gian, trong đó M(x; y) là điểm bất kỳ thuộc miền xác định D và z là giá trị của hàm số tại điểm đó. Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z = 4  x2  y2 là nửa mặt cầu có tâm ở gốc tọa độ và bán kính R = 2. 5.1.1.4. Đường mức Cho z = f(x; y) là hàm số xác định trong miền D và z0 là một giá trị cố định của hàm số đó. Định nghĩa 3. Đường mức của hàm số z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm M(x ; y) thỏa mãn điều kiện : f(x; y) = z0 , với z0 là một giá trị cố định. Nói cách khác, đường mức của hàm hai biến z = f(x; y) là tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng ( 0xy ) mà tại đó hàm số nhận cùng một giá trị z0 cố định. - 94 - Thông thường đường mức của một hàm hai biến là một đường trên mặt phẳng. Mỗi giá trị z0 cố định tương ứng với một đường mức. Ví dụ 5.4: Các đường mức của hàm số z  2x  3y là các đường thẳng có phương trình 2x  3y  z0 , với z0 là hằng số. trên hình 5.1 là các đường mức của hàm số này ứng với các giá trị z0  6; z0  0; z0  6 x 2 -3 O 3 y 2x + 3y = 6 -2 2x + 3y = 0 2x + 3y = -6 5.1.2. Hàm số n biến số 5.1.2.1. Không gian điểm n chiều Theo phương pháp tọa độ, mỗi điểm trên mặt phẳng được đồng nhất với một bộ hai số thực có thứ tự (x; y) và mỗi điểm trong không gian ba chiều được đồng nhất với bộ ba số có thứ tự (x; y; z). Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách giữa hai điểm M(x; y) và M’(x’; y’) được xác định theo công thức: d( M ; M ')  ( x  x ')2  ( y  y ')2 . Tương tự, trong không gian ba chiều khoảng cách giữa hai điểm M(x; y; z) và M’(x’; y’; z’) được xác định theo công thức: d( M ; M ')  ( x  x ')2  ( y  y ')2  ( z z')2 . Một cách tổng quát ta có định nghĩa điểm n chiều và không gian n chiều như sau: Định nghĩa 4. Mỗi bộ n số thực có thứ tự ( x1 ; x2 ; ; xn ) được gọi là một điểm n chiều. Để gán tên cho điểm n chiều ( x1 ; x2 ; ; xn ) ta dùng các chữ cái in hoa, chẳng hạn điểm X thì ta viết: X  ( x1 ; x2 ; ; xn ) hoặc X( x1 ; x2 ; ; xn ) - 95 - Định nghĩa 5. Không gian điểm n chiều (gọi tắt là không gian n chiều) ...