Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản): Phần 2

Phần hình học sơ cấp giúp sinh viên nhận rõ cách giảng dạy hình học ở trường phổ thông là giảng dạy theo phương pháp tiên đề và nhìn nhận rõ các khái niệm hình học được dạy ở trường tiểu học: Đa giác, khối, diện tích và đo diện tích cắt ghép hình, dựng hình,... Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán sơ cấp (Tái bản): Phần 2 PHẦN HAI: H Ì N H H Ọ C s ơ C Á P CHƯƠNG ì PHƯƠNG PHÁP TIÊN Đ Ể §1. Sơ lirợc lịch sử 1. Ngay từ những năm dầuở trường tiểu học, học sinh đã được biết các khái niệm hình học như điểm, đoạn thẳng, hình chữ nhật, hình tam giác, đường thẳng... sau đó là mặt phảng, khối lập phương, khối hộp chữ nhật,... Tất cả các khái niệm đó chỉ được mô tả bằng hình vẽ hoặc các mô hình trực quan. Tuy nhiên trong cách trình bày hình học truyền thống, người ta chỉ mô tả một số khái niệm gọi là các khái niệm cơ bán như điểm, đường thẳng, mặt phăng, điểm thuộc đường thẳng, một điểm ở giữa hai điểm, hai đoạn thẳng bằng nhau, còn các khái niệm khác của hình học đểu được định nghĩa chính xác. Trong cách trình bày truyền thống của hình học, người ta cũng thừa nhận một số khẳng định của hình học, gọi là các tiên đề, nói lên tính chất các khái niệm cơ bản, sau đó chứng minh các khẳng định của hình học. Cách trình bày hình học như vậy được dùng để giảng dạy bộ môn hình học trong trường phổ thông không những ở nước ta mà ở hầu hết các nước khác trên thế giới. Người đặt nền móng cho cách trình bày hình học như vậy là nhà Toán học ơcơlit sống ở Alexandri và khoảng những năm 300 trước công nguyên. 2. Tác phẩm Nguyên lý của ơcơlit Hình học sơ cấp là một trong những khoa học cổ nhất, được phát sinh do nhu cầu thực tiễn của đời sống con người như đo đạc ruộng đất, tính toán các công trình xây dựng. Từ thế kỷ thứ v u đến thế kỷ thứ IU trước công nguyên, các kiến thức hình học dần dần được hệ thống lại mang tính chất của một bộ môn khoa học. Công lao ấy thuộc về các trường phái toán học và triết học của Talét, Pitago, Aristôt, Đêmôcret... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN http://www.lrc-tnu.edu.vn Những công trình nghiên cứu của các nhà toán học cố đại đã được tống kết và hoàn tất xuất sắc trong các tác phẩm của ơcơlit nhan đề Nguyên lý, viết vào khoảng 300 năm trước công nguyên. Tác phẩm Nguyên lý của ơcơlit không những tập hợp được hầu hết các kiến thức toán học đương thời mà giá trị chủ yếu của nó là phương pháp trình bày các kiên thức đó. Ớ mỗi tập sách trong tác phẩm Nguyên lý ơcơlit đã bắt đầu bàng việc đưa các khái niệm (sẽ dùng đến) sau đó đưa ra một số khẳng định xem như chân lý (gọi là tiên đề hoặc là định đề) về các khái niệm đã nêu ra. Phần chủ yếu của mỗi tập sách là các kiến thức cơ bản của môn học bao gồm các khái niệm, thuộc tính và quan hệ giữa chúng được phát biểu thành các định lý. Tất cả các khái niệm này đều được định nghĩa và tất cả các định lý đều được chứng minh. Như vậy, qua tác phẩm Nguyên lý, ơcơlit đã thể hiện rõ ý đồ muốn toán học trở thành bộ môn khoa học trừu tượng và suy diễn, độc lập với ý niệm vật lý về không gian vật chất xung quanh, ơcơlit muốn định nghĩa mọi khái niệm. muốn chứng minh mọi chân lý. Khi bất tay thực hiện mới thấy rằng không thể làm được vì chứng minh điều này lại phải dựa vào điều kia và như vậy là không cùng. Và do đó dẫn đến ý tưởng phải thừa nhận một số khái niệm không định nghĩa, thừa nhận một số chân lý làm cơ sở cho các suy diễn tiếp theo. Phương pháp trình bày của ơcơlit đã có ảnh hưởng đến sự phát triển của hình học trong nhiều thế kỷ tiếp theo và của toán học nói chung. Với tác phẩm Nguyên lý, ơcơlit là người đặt nền móng cho việc xây dựng cơ sở của toán học, dẫn dắt các nhà toán học, theo những phương hướng nghiên cứu khác nhau, làm cho toán học trớ thành một khoa học trừu tượng, suy diễn và đã dạng. Có thể nói ơcơlit và tác phẩm Nguyên lý của mình trở thành người thày của các thế hệ toán học sau này. Tuy nhiên trong tác phẩm Nguyên lý cũng có một số thiếu sót, song chính việc khắc khắc phục các thiếu sót đó của các nhí toán học thế hệ sau đã thúc đẩy toán học phát triển. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – ĐH TN 140 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3. Lòbasepxki và Hinbe Bởi giá trị to lớn của tác phẩm Nguyên lý của ơcơlit, nhiều nhà toán học ở các thế hệ sau đã bỏ công nghiên cứu và hoàn thiện nó theo các phương hướng khác nhau. Trước hết người ta cố gắng bổ sung thêm các tiên đề đủ để làm cơ sở cho các suy diễn hình học, làm cho bộ môn hình học thực sự trở thành một bộ môn khoa học chính xác và chặt chẽ. Công lao lớn thuộc về các nhà toán học Acsimet. Cangto, Pastơ. Mặt khác, các nhà toán học cũng có cố gắng tìm kiếm rút bỏ các tiên đề mà có thể chứng minh được nhờ các tiên đề khác. Tiên đề được nhiều nhà toán học chú ý là định đề được đánh số V trong tác phẩm Nguyên lý. Nội dung của định đề đó là: Hai đường thẳng tạo với một cát tuyến hai góc trong cùng phía có tổng nhỏ hơn hai vuông thì cắt nhau về phía của hai góc đó. Nội dung của định đẻ này có hình thức phát biểu khá phức tạp so với các định đề khác và được dùng đến khá muộn trong bộ sách nên người ta nghi ngờ rằng chính ơcơlít đã cố gắng chứng minh nó, song chưa được nên'đành xếp vào danh mục các mệnh đề được thừa nhận. Nhiều nhà toán học tìm cách chứng minh định đề V. Có người đã tuyệt vọng vì nó, có người đã tưởng chứng minh được định ...