Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng

Bài viết “Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng” là một nghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp giải toán. Ý tưởng xuất phát một khái niệm toán học quen thuộc “tâm tỉ cự” tương đồng với momen lực trong vật lý.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụngPHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐVÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGTrần Anh Dũng1Tóm tắt: Bài viết “Phương pháp dùng trọng số và một số ứng dụng” là mộtnghiên cứu trong lĩnh vực phương pháp giải toán. Ý tưởng xuất phát một khái niệmtoán học quen thuộc “tâm tỉ cự” tương đồng với moment lực trong vật lý. Tác giả đãchuyển những bài toán có tính chất afin với các khái niệm đồng qui, thẳng hàng, tìmtỉ số bằng cách đặt các trọng số đồng thời đưa ra khái niệm tổng, hiệu của hệ điểm vàứng dụng giải nhiều bài toán hấp dẫn với lời giải đẹp. Với phương pháp này, tác giảđã sử dụng làm công cụ giải hai định lý toán học phổ dụng là định lý Cê-va và định lýMenelaus.Từ khóa: Tâm tỉ cự, trọng số, trọng tâm, đồng quy, thẳng hàng, tỉ số.1. Mở đầuCho một tam giác ABC, người ta gắn tạicác đỉnh của tam giác các trọng lượng khác nhaum1, m2, m3. Có thể chọn điểm G (gọi là điểm cânbằng) trên mặt phẳng tam giác này làm điểm treođể tam giác cân bằng (mặt phẳng (ABC) vuônggóc với phương thẳng đứng) được hay không?Đây là một bài toán không khó.Ta xét riêng trên đoạn thẳng BC của tamgiác, dựa vào công thức về moment lực ta có thểtìm được điểm cân bằng GAÎBC sao cho m2GAB= m3GAC. Dễ dàng khẳng định rằng tổng trọng lượng của B và C lúc này là m2 + m3 sẽđặt lên điểm GA và điểm cân bằng G của tam giác ABC thuộc đoạn thẳng AGA (khẳngđịnh này sẽ được lý giải trong phần khái niệm cơ sở) sao cho m1AG = (m2 + m3)AGAvà khi đó tổng trọng lượng ba điểm A, B, C sẽ đặt vào điểm G.Lại thấy rằng nếu gọi GB, GC lần lượt là điểm cân bằng của các cạnh CA, AB thìdễ dàng khẳng định được các đường thẳng AGA, BGB, CGC đồng quy tại G. Từ ý tưởngtrên, bằng hướng này, ta có thể giải được một số bài toán afin ở dạng chứng minh thẳnghàng, đồng quy hoặc tìm tỉ số đoạn thẳng.Điểm cân bằng (điểm đặt) trong moment lực vật lý của hai điểm B,C như trongtình huống trên hoàn toàn tương đương với khái niệm tâm tỉ cự hình học của chúng._________1. ThS, Khoa Toán, trường Đại học Quảng Nam17PHƯƠNG PHÁP DÙNG TRỌNG SỐ VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNGDựa vào khái niệm về tâm tỉ cự của hệ điểm ta có thể dễ dàng giải quyết đượcnhững bài toán dạng trên ở mức độ phức tạp hơn. Với hệ điểm A1, A2,n..., An và các hệ số m1, m2, ..., mn tương ứng luôn tồn tại một điểm G là tâm tỉ cự sao cho å mi GAi = 0. Tai =1thấy rằng điểm cân bằng đa giác được nói nôm na trong tình huống trên chính là tâmtỉ cự của tập hợp điểm.Từ ý tưởng trên, ta thử giải một bài toán đơn giản theo hướng này:Bài toán. Chứng tỏ trọng tâm chia trung tuyến tam giác theo tỉ số 1:2.Giải. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm của BC, ta có:   GA + GB + BC = 0 , như vậy khi đặt A, B, C các trọng lượng 1 thì G là điểm cân bằngvà có trọng số 3, trung điểm M là điểm cân bằng của B và C có trọng số 2. Như vậy với3 điểm thẳng hàng A, G, M trong đó G là điểm cân bằng của A(trọng số 1) và M(trọng số 2), với cùng lập luận, ta dễ dàng suy ra được GA + 2GM = 0 . Tức là GA = 2GM.Như vậy từ những bài toán đơn giản trên, ta có thể hướng đến một cách giải chomột số bài toán hình học.2. Nội dung2.1. Khái niệm cơ sở:Định lý. Trong mặt phẳng (hoặc không gian), Tâm tỉ cự của hệ điểm cho trướck điểm A1, A2,..., Ak và k số thực m1, m2,..., mk thỏa mãnk tại duy nhất điểm G sao cho: å mi GAi = 0 .kå m = m ¹ 0 . Khi đó, tồnii =1i =1Ta gọi G là tâm tỉ cự của hệ điểm (A1, A2, ..., Ak) gắn với các hệ số (m1, m2, ...,mk), gọi tắt G là tâm tỉ cự của hệ điểm (Ai, mi)k.mChứng minh. Lấy một điểm O tùy ý, gọi li= i Î, i = 1, k . Khi đó ta luôn chọn k  1 mk kđược điểm G sao cho OG = ∑ li OAi Û OG = ∑ mi OAi Û mOG = ∑ mi OAim i =1i =1i =1kkk k   Û ∑ mi OG = ∑ mi OAi Û ∑ mi GO + OAi = 0 Û ∑ mi GAi = 0 (ĐPCM)i =1i =1i =1()i =1Trong phạm vi nội dung bài viết này, ta ký hiệu tâm tỉ cự G trong định lý trênklà G (m) = å Ai (mi ) và các hệ số m, mi được gọi là trọng số của các điểm G, Ai.i =1Mệnh đề 1. Cho G1 là tâm tỉ cự của hệ điểm (Ai, mi)k,của hệ điểm (Bj, nj)s,kåni =1ikåmi =1i¹ 0 . G2 là tâm tỉ cự¹ 0 . Khi đó, tâm tỉ cự của hệ k+s điểm trên với các hệ sốtương ứng trùng với tâm tỉ cự của hai điểm (G1, G2) với hệ số tương ứng (m, n) trong đó18TRẦN ANH DŨNGksi =1j =1m = å mi , n = å n j , m + n ¹ 0 (hiển nhiên G thuộc đường thẳng G1G2).Chứng minh.G(m+n) = G1(m) + G2(n) Û mGG1 + nGG2 = 0kl ö æ l ÷ö æ kç÷çÛ ççå mi GG1 + å mi G1 Ai ÷÷ + ççå n j GG2 + å n j G2 B j ÷÷÷ = 0è i=1ø èç j=1øi =1j =1jklk (vì å mi G1 Ai = 0, å n j G2 B j = 0, m = å mi , n = å n j )i =1kj =1i =1lmGA+Û å i i å n j GB j Û G(m + n) =i =1chứng minh)j =1kj =1lå Ai (mi ) + å B j (n j ) (điều phảii =1j =1Chúng ta đi vào giải một vài bài toán khi áp dụng mệnh đề trên:2.2. Một số bài toán ứng dụngBài ...