Hình học phẳng và các bài toán (Tập 1): Phần 2

Phần 2 Tài liệu Các bài toán về hình học phẳng (Tập 1) trình bày cá chương: Phép đối xứng qua trục, phép quay, phép vị tự và phép vị tư quay, tam giác, đa giác, tập hợp các điểm có tính chất cho trước, dựng hình. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Hình học phẳng và các bài toán (Tập 1): Phần 2 Chương 8 PHÉP ĐỐI X Ứ N G QUA T R Ự C CÁC K I Ế N THỨC C ơ BẢN 1. Phép đối xứng qua đường thẳng Ì (kí hiệu là Si) là một phép biến hình trên!mặt phang biển điểm X thành một điểm X sao cho đường thẳng Ì là đường trung!trúc của đoan thẳng X X . Phép biên hình đó CÒIÍ được gọi là phép đối xứng qua trục, và đường thẳng 1]đuợc gọi là đối xứng. 2. Nếu một hình biến thành chính nó qua phép đối xứng trục Ì, thì Ì được gọilà trục đối xúng của hình đó. 3. Tích của hai phép đối xứng trục là một phép tịnh tiên nếu các tTiịc đối xứngsong song nhau; còn nêu chúng không song song thì tích đó là một phép quay (xembài 8.14). Các phép đối xứng có thể coi là các viên gạch, tả đó có thè xây dựng tất cả cácphép biển đổi trên mặt phẳng: có thế chứng minh được rằng mọi phép biến đổiđều là tích không quá 3 phép đối xúng trục. Do đó tích của phép đối xứng trục chota một phương pháp giải toán mạnh hơn rất nhiêu so với tích các phép đ ố i xứngtâm. Ngoài ra phép quay thường cũng đuợc phân tích một cách tiện lợi ra làm tíchcủa hai phép đỗi xứng trục mà một trong các trục có thể coi là một đường thẳngbất kì đi qua tâm quay. CÁC BÀI TOÁN M Ở ĐẦU 1. Chứng minh rằng đường tròn qua phép đối xứng trục biển thành đường tròn. 2. Hai đường tròn có tâm chung là điểm o. Đường tròn thứ ba cắt chúng tại cácđiểm A, B, c, D. Chứng minh rằng nếu đường thẳng AB đi qua điểm o, thì đườngthẳng CD cũng đi qua điểm o.140 3. Một tứ giác có trục đối xứng. Chứng minh rằng tứ giác đó hoặc là một hìnhthang cân, hoặc đối xứng qua một đường chéo của mình. 4. Trục đối xứng của một đa giác cắt các cạnh của nó tại các điểm A và B. Chứngminh rằng điển A hoặc là.đinh của đa giác, hoặc là trung điểm của mật cạnh vuônggóc với trục đối xứng. 5. Chứng minh rằng nêu một hình có hai trục đối xứng vuông góc với nhau, thìnó có tâm đối xứng.§1. Dừng phép đối xứng trục để giải toán 8.1. Trên đường phân giác ngoài của góc c của AABC lẫy một điểm M * c.Chứng minh rằng M A + MB > CA + CB. 8.2. Điểm M nằm trên đường kính AB của đường tròn. Dây cung CD đi qua M 2 2và cắt AB dưới góc 45°. Chứng minh rằng tổng C M + D M không phụ thuộc vàocách chọn điểm M . 8.3. Hai d;*vnig tròn bằng nhau Si và S2 cùng tiếp xúc trong với đường tròn stại A i và A2. Điếm c bệt kì trên đường tròn s đuợc nối bằng đoạn thẳng với cácđiểm A i và A2. Các đoạn thẳng đó cắt các đường tròn Si và S2 tại điểm Bi và B2.Chứng minh rằng; A i A2 // B1B2. 8.4. a) Chứng minh rằng diện tích của một tứ giác lòi bệt kì không lớn hơn nửatổng của các tích các cạnh đối nhau : S A B T> ^ - ( A B . CD + BC. AD) 2 b) Chứng minh rằng đẳng thức trong a) đạt được chi khi tứ giác là nội tiếpdược và có hai đường chéo vuông góc với nhau. 8.5. Chứng minh rằng trong Iĩ^ọi tam giác ABC đường cao ha không lớn hơnVp (p — ây, trong đó p là nửa chu vi.§2. Phép đối xúng trục với các bài toán dựng hình 8.6. Dựng tứ giác ABCD có đường chéo AC là đường phân giác của góc A khibiẽt độ dài các cạnh của nó. 8.7. Dựng tứ giác ngoại tiếp ABCD khi biết độ dài hai cạnh kẽ nhau AB và AD,và các góc thuộc các đinh B và D. 141 8.8. Dựng AABC theo cạnh c , đường cao he và hiệu các góc A và B. 8.9. Cho góc nhọn MON và các điếm A và B nằm trong góc đó. Hãy tim trê]cạnh OM điểm X sao cho A X Y Z , trong đó Y và z là các giao điểm của các đườnthẳng X A và XB với ON, là cân : X Y = xz. 8.10. Cho đường thẳng M N và hai điếm A và B nằm cùng một phía so với nóiDựng trên đường thẳng MN điểm X sao cho A X M = 2 BXN§3. Dựng hình. Các cạnh của tam giác đối xứng qua các đường phân giác 8.11. Dựng AABC nếu cho các điểm A, B và đường thẳng chứa đường phângiác của góc c . 8.12. Cho ba đường thẳng l i , Ỉ2, te đông quy tại một điếm, và một điểm A trênđường thẳng h. Dựng ÀABC sao cho các đường phân giác củatam giác nằm trêncác đường thẳng l i , h, b. 8.13. Dựng tam giác theo các trung điểm cho trước của hai cạnh và đường thẳngchứa phân giác kẻ tới một trong các cạnh đó.§4. Tích của các phép đối xứng 8.14. a) Cho hai đường thẳng l i và 12 song song. Chứng minh rằngS| . Si! = 2 , trong đó T^ là phép tịnh tiễn l i thành 12 và a -L l i b) Cho hai đường thẳng l i và I2 cửt nhau tại điểm o. Chứng minh rằng 2 aS i . Su = R , trong đó R là phép quay biên l i thành 12. 2 8.15. Trên mặt phẳng chcv* đường thẳng a, b, c. Giả sử T = Sa.Sb.Sc. Chứngminh rằng T.T là một phép tịnh tiên (hoặc là phép đông nhất). 8.16. ...