Luận văn: Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn

Ta đã biết rằng mỗi tập lồi trong không gian topo tuyến tính lồi địa phương đều có tính chấtđiểm bất động đối với các ánh xạ compact. Câu hỏi đặt ra là điều này còn đúng với các khônggian topo tuyến tính không lồi địa phương không. Bài báo này chỉ ra rằng đơn hình chuẩntrong không gian l p (0
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Điểm bất động của ánh xạ compact trong không gian tuyến tính định chuẩn B GIÁO D C VÀ ĐÀO T O TRƯ NG Đ I H C QUY NHƠN NGUY N TRUNG KIÊN ĐI M B T Đ NG C A ÁNH XCOMPACT TRONG KHÔNG GIAN TUY N TÍNH Đ NH CHU N LU N VĂN T T NGHI P Đ I H C HC NHÂN SƯ PH M Ngư i hư ng d n khoa h c : PGS.TS. THÁI THU N QUANG Năm 2011M cl c M Đ U ..................................... 31 M TS KI N TH C CHU N B 5 1.1 Các không gian cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Không gian đ nh chu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4 Không gian l i đ a phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Ánh x liên t c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.1 Ánh x liên t c gi a các không gian mêtric . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Ánh x liên t c gi a các không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.3 Ánh x liên t c gi a các không gian đ nh chu n . . . . . . . . . 10 1.2.4 Phép đ ng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.5 Toán t compact - Toán t hoàn toàn liên t c . . . . . . . . . . 102 BÀI TOÁN VÀ M T S Đ NH LÝ V ĐI M B T Đ NG 12 2.1 M t s toán t tích phân và bài toán đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . 12 2.1.1 Toán t tích phân Urysohn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1.2 Toán t Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 ng d ng vào bài toán biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 M t s đ nh lý đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1 Đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 2.2.2 Đ nh lý x p x và phép chi u Schauder . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.3 Các đ nh lý đi m b t đ ng c a Brouwer và Borsuk . . . . . . . 19 2.2.4 Đ nh lý đi m b t đ ng Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.5 M r ng c a đ nh lý Borsuk 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 TÍNH CH T C T NGANG TÔPÔ VÀ NG D NG 22 3.1 Tính ch t c t ngang tôpô và s t n t i ánh x c t y u . . . . . . . . . 22 3.1.1 Tính ch t c t ngang tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.1.2 Ánh x c t y u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 ng d ng cho bài toán đi m b t đ ng .................. 27 3.2.1 Nguyên lý Leray - Schauder. Đ nh lý Birkhoff-Kellogg . . . . . . 27 3.2.2 Trư ng compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Phương trình y = x − F (x) và tính b t bi n c a mi n . . . . . . 3.2.3 32K T LU N 36TÀI LI U THAM KH O 37 M ĐU Lu n văn này nh m tìm hi u các v n đ liên quan đ n đi m b t đ ng c a các ánhx gi a các không gian tôpô, đ c bi t là c a toán t compact. Thông qua các đ nh lýđi m b t đ ng, có th ng d ng đ kh o sát s t n t i nghi m c a phương trình hayphương b t bi n c a mi n. N i dung chính c a lu n văn là trình bày chi ti t và làm rõ m t s k t qu trong[1]. Trong lu n văn, tác gi đã làm tư ng minh các ch ng minh c a Dugundji J. vàGranas A.. Ngoài các ph n M đ u, K t lu n và Tài li u tham kh o thì lu n văn g m có 3chương. Chương 1 gi i thi u m t s ki n th c chu n b v các không gian cơ b n và ánhx liên t c gi a các không gian, toán t compact, toán t hoàn toàn liên t c và phépđ ng luân. Chương 2 đ c p đ n m t s toán t tích phân, phép chi u và đ nh lý x p xSchauder, m t s đ nh lý đi m b t đ ng. Chương 3 trình bày tính ch t c t ngang tôpô và m t s ng d ng trong các bàitoán đi m b t đ ng. Tác gi đã nh n đư c s hư ng d n nhi t tình, chu đáo, nghiêm kh c và đ y khoah c c a PGS.TS Thái Thu n Quang trong su t th i gian h c t p, nghiên c u và hoànthành đ tài. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và kính tr ng sâu s c đ i v iTh y. Nhân d p này tác gi cũng xin chân thành g i l i c m ơn đ n quý th y, cô trongvà ngoài Khoa Toán, Đ i h c Quy Nhơn đã dày công gi ng d y trong su t khóa h c 4và t o đi u ki n thu n l i cho tác gi hoàn thành lu n văn này. Tác gi xin chân thành c m ơn các b n cùng l p Sư ph m Toán A khóa 30 đã đùmb c giúp đ nhau trong h c t p và sinh ho t. M c dù lu n văn đã đư c th c hi n v i s n l c c g ng h t s c c a b n thânsong do h n ch v trình đ và s hi u bi t nên khó tránh kh i nh ng sai l m thi usót. Đ ng th i, tác gi cũng nh n th c đư c r ng còn r t nhi u v n đ m đ t ra chưagi i quy t đư c. Tác gi r t mong nh n đư c nh ng góp ý, phê bình quý báu c a quýth y cô và các b n đ c quan tâm. Quy Nhơn, tháng 03 năm 2011 Tác gi Nguy n Trung KiênChương 1M TS KI N TH C CHU N B1.1 Các không gian cơ b n1.1.1 Không gian mêtr ...