Luận văn: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu

Giải tích lồi là một bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến hiện đại.Giải tích lồi nghiên cứu những khía cạnh giải tích của tập lồi và hàm lồi.Dưới vi phân là một khái niệm cơ bản của giải tích lồi. Đây là mở rộng chođạo hàm khi hàm không khả vi. Điều này cho thấy vai trò của dưới vi phântrong giải tích hiện đại cũng có tầm quan trọng như vai trò của đạo hàm tronggiải tích cổ điển. Dưới vi phân của hàm lồi có rất nhiều ứng dụng trong giảitích phi tuyến và đặc...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn: Dưới vi phân của hàm lồi và một số ứng dụng trong tối ưu 1 §¹i häc th¸i nguyªn Trêng ®¹i häc s ph¹m ----------------- N«ng ThÞ MaiDíi vi ph©n cña hµm låi vµ mét sè øng dông trong tèi u Chuyªn ngµnh: Gi¶i tÝch M· sè:60.46.01 LuËn v¨n th¹c sÜ to¸n häc Ngêi híng dÉn khoa häc: GS -TSKH Lª Dòng Mu Th¸i nguyªn - N¨m 2008 2 Môc lôc Trang Trang phô b×a 1 Môc lôc 2 Danh môc c¸c ký hiÖu, c¸c ch÷ viÕt t¾t 3 Lêi nãi ®Çu 4Ch¬ng1. C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tËp låi vµ hµm låi 5 1.1. TËp låi .............................. 5 1.2. Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1. Hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2. TÝnh liªn tôc cña hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. C¸c phÐp to¸n b¶o toµn tÝnh låi . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.4. BÊt ®¼ng thøc låi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.5. Hµm liªn hîp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Ch¬ng2. Díi vi ph©n cña hµm låi 18 2.1. §¹o hµm theo ph¬ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2. Díi vi ph©n vµ c¸c tÝnh chÊt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1. Díi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2. TÝnh kh¶ vi cña hµm låi . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. TÝnh ®¬n ®iÖu cña díi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.4. TÝnh liªn tôc cña díi vi ph©n . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.5. PhÐp tÝnh víi díi ®¹o hµm . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.3. Díi vi ph©n xÊp xØ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45Ch¬ng3. Mét sè øng dông cña díi vi ph©n trong tèi u ho¸ 52 3.1. C¸c kh¸i niÖm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.2. Bµi to¸n låi kh«ng cã r»ng buéc . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3. Bµi to¸n låi víi r»ng buéc ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4. Bµi to¸n låi víi r»ng buéc bÊt ®¼ng thøc . . . . . . . . . . . . 54 KÕt luËn 63 Tµi liÖu tham kh¶o 64 3 Danh môc c¸c ký hiÖu, c¸c ch÷ viÕt t¾tVíi n lµ sè nguyªn d¬ng, ký hiÖu: nR : kh«ng gian Euclide n-chiÒu trªn trêng sè thùc;R+ : gãc kh«ng ©m cña Rn (tËp c¸c vÐc-t¬ cã mäi to¹ ®é ®Òu kh«ng ©m ); nR: trôc sè thùc (R = R1 );R: trôc sè thùc më réng (R = R ∪ {−∞, +∞});N : tËp hîp sè nguyªn d¬ng; n2R : tËp hîp tÊt c¶ c¸c tËp con cña Rn ; nVíi mäi vÐc-t¬ x, y ∈ R , ký hiÖu:xi : to¹ ®é thø i cña x;xT : vÐc-t¬ hµng (chuyÓn vÞ cña x); x, y = xT y = xy := n=1 xj yj : tÝch v« híng cña hai vÐc-t¬ x vµ y; j n 2 j =1 xj : chuÈn Euclide cña x;||x|| =[x, y ]: ®o¹n th¼ng ®ãng nèi x vµ y;(x, y ): ®o¹n th¼ng më nèi x vµ y;Víi tËp A, ký hiÖu:A: bao ®ãng cña A;coA: bao låi cña A;aff A: bao a-phin cña A;intA: tËp hîp c¸c ®iÓm trong cña A;ri A: tËp hîp c¸c ®iÓm trong t¬ng ®èi cña A;Víi hµm f cña n biÕn, ký hiÖu:f : hµm bao ®ãng cña f ;dom f : tËp h÷u dông cña f ;f ∗ : hµm liªn hîp cña f ;epi f : trªn ®å thÞ cña f ;∂f (x): díi vi ph©n cña f t¹i x;∂ f (x): - díi vi ph©n cña f t¹i x; f (x) hoÆc f (x): ®¹o hµm cña f t¹i x;f (x, d): ®¹o hµm theo ph¬ng d cña f t¹i x; 4 Lêi nãi ®Çu Gi¶i tÝch låi lµ mét bé m«n quan träng trong gi¶i tÝch phi tuyÕn hiÖn ®¹i.Gi¶i tÝch låi nghiªn cøu nh÷ng khÝa c¹nh gi¶i tÝch cña tËp låi vµ hµm låi.Díi vi ph©n lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña gi¶i tÝch låi. §©y lµ më réng cho®¹o hµm khi hµm kh«ng kh¶ vi. §iÒu nµy cho thÊy vai trß cña díi vi ph©ntrong gi¶i tÝch hiÖn ®¹i còng cã tÇm quan träng nh vai trß cña ®¹o hµm tronggi¶i tÝch cæ ®iÓn. Díi vi ph©n cña hµm låi cã rÊt nhiÒu øng dông trong gi¶itÝch phi tuyÕn vµ ®Æc biÖt trong c¸c bé m«n to¸n øng dông, nh tèi u ho¸,bÊt ®¼ng thøc biÕn ph©n, c©n b»ng v...v. Môc ®Ých cña luËn v¨n lµ tr×nh bµy mét c¸ch cã hÖ thèng, c¸c kiÕn thøcc¬ b¶n vµ quan träng nhÊt vÒ díi vi ph©n cña hµm låi vµ xÐt mét sè øngdông ®iÓn h×nh cña díi vi ph©n trong tèi u ho¸. LuËn v¨n gåm 3 ch¬ng. Trong ch¬ng 1 sÏ tr×nh bµy nh÷ng kiÕn thøcc¬ b¶n vÒ tËp låi vµ hµm låi. §©y lµ c¸c kiÕn thøc bæ trî cho ch¬ng 2 vµ do®ã sÏ kh«ng ®îc chøng minh trong luËn v¨n nµy. Trong ch¬ng 2 sÏ ®Ò cËpvÒ ®¹o hµm theo ph¬ng, díi vi ph©n, díi vi ph©n xÊp xØ vµ mét sè tÝnhchÊt c¬ b¶n cña chóng. Dùa trªn c¸c kÕt qu¶ ®· nghiªn cøu trong c¸c ch¬ngtríc, trong ch¬ng 3 sÏ tr×nh bµy c¸c ®iÒu kiÖn cùc trÞ cho c¸c bµi to¸n quyho¹ch låi víi c¸c r»ng buéc kh¸c nhau (kh«ng r»ng buéc, r»ng buéc ®¼ngthøc, r»ng buéc bÊt ®¼ng thøc). B¶n luËn v¨n nµy ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn khoa häc cña GS-TSKH Lª Dòng Mu. Nh©n ®©y em xin ch©n thµnh c¶m ¬n thÇy ®· híngdÉn, ®éng viªn, khuyÕn khÝch em häc tËp, nghiªn cøu ®Ó hoµn thµnh luËnv¨n nµy.Ch¬ng 1C¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ tËp låi vµ hµmlåiTrong luËn v¨n nµy, chóng ta sÏ lµm viÖc víi kh«ng gian euclid-n chiÒu trªn ...