Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết cực trị trong tài chính và bảo hiểm

Luận văn được nghiên cứu bằng cách trình bày và tập hợp một số kết quả nghiên cứu, công trình khoa học của các tác giả nêu trên. Trong đó, tác giả cố gắng trình bày ngắn gọn lý thuyết EVT theo cả hướng cổ điển và hiện đại, với trọng tâm theo hướng phát triển hiện nay, đó là phương pháp thống kê dựa trên hai cuốn sách nêu trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Lý thuyết cực trị trong tài chính và bảo hiểm ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊTRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 1 Hà Nội, năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- TRỊNH NHƯ QUỲNH LÝ THUYẾT CỰC TRỊTRONG TÀI CHÍNH VÀ BẢO HIỂM Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.0106 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. TRẦN HÙNG THAO Hà Nội, năm 2014 2 LỜI MỞ ĐẦU Lý thuyết cực trị tài chính là một chủ đề cổ điển trong lý thuyết xác suất vàthống kê Toán học. Nó bắt nguồn từ những nghiên cứu của hai nhà toán học Fisher vàTippett. Từ đó, một số lượng lớn sách và các công trình nghiên cứu về lý thuyết cựctrị đã xuất bản. Ngày nay, có nhiều độc giả quan tâm, trong đó phải kể đến các nhàtoán học: Adler, Aldous, Beirlant, Reiss, Galabos, Gumbel, Rootzen … Một số ghi chép về lịch sử của lý thuyết cực trị ghi nhận, người đặt nền móngcho lý thuyết này là Nicolas Bernoulli (1709). Những cuốn sách đã được xuất bản của Leadbetter, Lindgren, Rootzen vàResnick và đã thu hút nhiều người đọc. Những cuốn sách sau đó liên quan đến nguồngốc của lý thuyết cực trị gắn với các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối. Haicông cụ đóng vai trò trung tâm của nghiên cứu lý thuyết cực trị là: lý thuyết các hàmbiến đổi đều và quá trình điểm thuộc xác suất cơ bản. Lý thuyết cực trị cho các biến ngẫu nhiên rời rạc được nghiên cứu bởiAnderson, Arnnold, Balakrishman, Nagaraja, Gordon, Schilling và Waterman. Lýthuyết cực trị với các quá trình với thời gian liên tục cũng được nghiên cứu bởi Adler,Berman và Leadbetter. Leadbetter tiến hành nghiên cứu cực trị của các dãy và quá trình dừng bằngcách tổng kết các kết quả quan sát các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.Galambos và Resnick cũng nghiên cứu về cực trị nhiều chiều. Beirlant, Gumbel,Peifer và Reiss chứng minh các kết quả cực trị dựa vào thống kê. Từ đó, phương phápthống kê cũng trở thành cơ sở nghiên cứu của lý thuyết cực trị nói chung và lý thuyếtcực trị trong Toán tài chính nói riêng. Ứng dụng của toán học vào các lĩnh vực trong đời sống luôn là hướng đi thú vịvà thu hút được nhiều quan tâm của các nhà toán học hiện nay. Lý thuyết EVT là mộttrong số lý thuyết được nghiên cứu và vận dụng vào các bài toán thực tế của đời sống.Một số những ứng dụng của nó đã được nghiên cứu hiện nay là các lĩnh vực: dự báothời tiết; cảnh báo thiên tai, động đất; tài chính; bảo hiểm và chi trả bảo hiểm … Một số nhà toán học nghiên cứu lý thuyết cực trị tài và ứng dụng của chúngtrong tài chính, bảo hiểm dựa theo phương pháp thống kê tiêu biểu hiện nay là Pareto,A. J. McNeil, Rüdiger Frey, P. Embrenchts, C. Klüppelberg và T. Mikosch với nhiềucông trình khoa học và cuốn sách nổi tiếng được công bố. Trong đó, cuốn sách nổi 3tiếng là: “Quantitative Risk Management”; “Modelling Extremal events for Insuranceand Finance”. Luận văn được nghiên cứu bằng cách trình bày và tập hợp một số kết quảnghiên cứu, công trình khoa học của các tác giả nêu trên. Trong đó, tác giả cố gắngtrình bày ngắn gọn lý thuyết EVT theo cả hướng cổ điển và hiện đại, với trọng tâmtheo hướng phát triển hiện nay, đó là phương pháp thống kê dựa trên hai cuốn sáchnêu trên. Từ đó, tác giả cũng lựa chọn hai ví dụ áp dụng của lý thuyết trong phân tíchchỉ số giá cổ phiếu của hai hãng IBM và FORD. Qua đó, các nhà đầu tư có thể lựachọn thời điểm đầu tư phù hợp với diễn biến của thị trường. Tác giả vô cùng biết ơn sự hướng dẫn của PGS, TS Trần Hùng Thao, các thầycô giáo Khoa Toán – Cơ – Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà nội. Tôi cũng bày tỏ sự giúp đỡ của Ths Hoàng Đức Mạnh, Bộ môn Điềukhiển học kinh tế, Khoa Toán tài chính, trường đại học Kinh tế Quốc dân đã giúp đỡtác giả thực hiện luận văn này và các thành viên lớp cao học Toán niên khoá 2011-2013, trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà nội đã giúp đỡ tácgiả hoàn thành luận văn. Do khả năng và thời gian có hạn, luận văn không tránh được những sai xót,mọi đóng góp xin gửi về hòm thư: tnquynh112@gmail.com hoặc qua số điện thoại:0163.655.3456. Tác giả xin trân trọng cảm ơn. Hà nội, ngày 14 tháng 4 năm 2014 4 Các kí hiệu sử dụngEVT: (Extreme Value Theory) Lý thuyết cực trị;GEV: (Genaralised Extreme Value Distribution) Phân phối cực trị tổng quát;GPD: (Genaralised Preto Distribution) Phân phối Pareto tổng quát;MDA: (Maximum Domain of Attraction) Miền hấp dẫn cực đại;MLE: (Maximum Likelihood Estimation) Ước lượng hợp lí cực đại;MSE: (mean squared errors) Sai số bình phương trung bình;POT: (Peaks – Over - Threshold) Điểm vượt ngưỡng; 5 MỤC LỤCLời mở đầu.Các kí hiệu sử dụng.Chương I. Các phân phối cực trị trong toán tài chính……………………………1 1.1. Giới hạn xác suất cho cực đại…………………...………………………..1 1.2. Sự hội tụ yếu của cực đại qua phép biến đổi afin………….……………...7 1.3. Miền cực đại và hằng số chuẩn...................................................................13 1.3.1. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Fréchet…………………………15 1.3.2. Miền hấp dẫn cực đại của phân phối Weib ...