Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn

Đa thức hoán vị là một lĩnh vực nghiên cứu thú vị. Chúng có các ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết mã hóa, mật mã và thiết kế tổ hợp. Loại đa thức đơn giản nhất là đơn thức. Một đơn thức x n hoán vị trên Fq khi và chỉ khi gcd (n, q − 1) = 1. Nhưng đối với nhị thức và tam thức thì tình huống không dễ dàng như vậy. Luận văn sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đè này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn đặc số chẵn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN VIỆT MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊTRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN VIỆT MỘT SỐ LỚP ĐA THỨC HOÁN VỊTRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN ĐẶC SỐ CHẴN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - 2019Mục lục Mở đầu 2 Chương 1 Trường hữu hạn và nhập môn về đa thức hoán vị 4 1.1 Trường hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị . . . . . . . 9 1.3 Đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên . . . . . . . . . 10 Chương 2 Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn 13 2.1 Trường đóng đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Một số lớp tam thức hoán vị được trên trường hữu hạn đặc số chẵn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Kết luận và kiến nghị 36 Tài liệu tham khảo 38 1Mở đầu Đa thức hoán vị là một lĩnh vực nghiên cứu thú vị. Chúng có cácứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như lý thuyết mã hóa, mật mãvà thiết kế tổ hợp. Loại đa thức đơn giản nhất là đơn thức. Một đơnthức xn hoán vị trên Fq khi và chỉ khi gcd (n, q − 1) = 1. Nhưng đốivới nhị thức và tam thức thì tình huống không dễ dàng như vậy. Chỉ cómột vài loại nhị thức hoán vị và tam thức được biết đến. Chúng tôi đặcbiệt quan tâm đến các lớp tam thức hoán vị trên các trường hữu hạn vớiđặc số chẵn. Chú ý rằng, không có nhị thức trên các trường hữu hạn cóđặc số chẵn. Điều này thúc đẩy chúng tôi tìm ra các lớp tam thức hoánvị mới với các hệ số tầm thường trên các trường hữu hạn với đặc sốchẵn. Tuy nhiên, cho đến nay, một số ít các lớp tam thức hoán vị trênF2m đã được biết đến. Trong luận văn này, chúng tôi trình bày chứng minh chi tiết năm lớptam thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn. Nội dung chínhcủa luận văn được trình bày thành hai chương:Chương 1: Trường hữu hạn và nhập môn về đa thức hoán vị. Trongchương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữuhạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạn 2và đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên.Chương 2: Một số lớp đa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc sốchẵn. Chương này chúng tôi trình bày về một số tiêu chuẩn hoán vị củađa thức và một số lớp tam thức hoán vị. Đặc biệt ở chương này chúngtôi trình bày lại chi tiết các kết quả trong hai bài báo [4] của R. Guptavà R. Sharama, [3] của C. Ding, L. Qu, Q. Wang, J. Yuan, P. Yuan vềlớp tam thức hoán vị trên trường có đặc số chẵn. Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học, Đạihọc Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình của GS. TS Lê Thị ThanhNhàn. Em chân thành cảm ơn cô Lê Thị Thanh Nhàn đã tận tình hướngdẫn em triển khai đề tài của luận văn này. Em chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Đại số, khoa Toán-Tintrường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, những người đã tậntình giảng dạy và trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho em trong suốtquá trình học tập tại trường. Vì thời gian và kiến thức còn hạn chếnên mặc dù bản thân đã cố gắng nhiều nhưng luận văn khó tránh khỏinhững thiếu sót. Em xin mong nhận được những ý kiến đóng góp củacác thầy cô và các bạn để luận văn của em được hoàn chỉnh hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 05 năm 2019 Học viên Nguyễn Văn Việt 3Chương 1Trường hữu hạn và nhập môn về đa thức hoánvị Để chuẩn bị cho việc trình bày về đa thức hoán vị và một số lớpđa thức hoán vị trên trường hữu hạn có đặc số chẵn ở Chương 2, trongchương này, chúng tôi trình bày cấu trúc và số phần tử của trường hữuhạn, một số tính chất cơ bản của đa thức hoán vị trên trường hữu hạnvà đa thức hoán vị modulo một số tự nhiên.1.1 Trường hữu hạn Mục đích của chương này là giới thiệu khái niệm trường hữu hạn vàlàm rõ cấu trúc cũng như số phần tử của trường hữu hạn. Trường là một tập hợp T cùng với hai phép toán cộng và nhân saocho hai phép toán là kết hợp, giao hoán, phép nhân phân phối với phépcộng, T có phần thử 0, có phần tử đơn vị 1, mọi phần tử a ∈ T đều cóđối xứng −a ∈ T và mọi phần tử a ∈ T, a 6= 0 đều có phần tử nghịchđảo a−1 ∈ T. Chẳng hạn Z2 là một trường, vành Z4 không là trường vì phần tử2 6= 0 ∈ Z4 không có phần tử nghịch đảo. Tổng quát, Zn là trường khi 4 và chỉ khi n nguyên tố. Một số ví dụ về trường vô hạn như trường Q các số hữu tỷ; trường R các số thực; trường C các số phức. Định nghĩa 1.1.1. Trường hữu hạn là trường có hữu hạn phần tử. Chú ý 1.1.2. Với mọi trường T , mọi phần tử a ∈ T và mọi số nguyên n ta định nghĩa bội nguyên na như sau:• na = 0 nếu n = 0,• na = a + . . . + a (n hạng tử a) nếu n > 0,• na = (−a) + . . . + (−a) (−n hạng tử a) nếu n < 0. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử T là một trường. Nếu tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho n1 = 0, trong đó 1 là phần tử đơn vị của T , ...