Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli và ứng dụng

Luận văn trình bày lịch sử nghiên cứu và hình thành số Bernoulli của một số nhà toán học trên thế giới, trình bày công thức truy hồi tính số Bernoulli kèm chứng minh chi tiết cho công thức đó; tiếp cận cách thức khác để tính số Bernoulli thông qua một hàm sinh; trình bày lý thuyết về chuỗi lũy thừa hình thức và đa thức Bernoulli cùng khai triển Fourier của đa thức Bernoulli; trình bày lại lý thuyết về số Stirling, hàm Zeta và các mối liên hệ của số Bernoulli với số Stirling và hàm Zeta. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số Bernoulli và ứng dụng BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN QUỐC THÁI – C00256 SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: Phương pháp toán sơ cấp MÃ SỐ: 60460113 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS: VŨ THẾ KHÔI Hà Nội - Năm 2016 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Thăng Long dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Vũ Thế Khôi. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong trường Đại Học Thăng Long đã giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học Toán khóa III. Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đã tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập. Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp cao học toán KIII Hà nội đã có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua. Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, tôi mong nhận được sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp Hà nội, ngày......tháng....... năm 2016 Tác giả Nguyễn Quốc Thái GIỚI THIỆU Trong chương trình toán trung học phổ thông cũng như bậc đại học chúng ta đã được biết đến công thức tổ hợp và đó chính là công thức hệ số nhị thức trong khai triển (x + y )n cụ thể: n (x + y ) = n i =0 n i n−i x y i Câu hỏi đặt ra là các tổng, các tích sau được có công thức tương tự hay không? 1k + 2k + 3k + ... + n k =? x (x − 1)(x − 2)...(x − n ) =? x (x + 1)(x + 2)...(x + n ) =? 1 2k + 1 3k + ... + 1 nk + ... =? ... Trong giảng dạy toán học sơ cấp việc nắm vững các kiến thức như trên là rất cần thiết và và từ đó tác giả quyết định chọn đề tài: SỐ BERNOULLI VÀ ỨNG DỤNG Qua quá trình hướng dẫn của Thầy Vũ Thế Khôi tác giả đã được học, đọc và nghiên cứu một số tài liệu cũng như xem qua các kênh toán học trên Internet, trong luận văn này tác giả đã tập hợp và trình bày lại các kiến thức cơ bản và một số ứng dụng có liên quan đến các tổng, tích trên đây. Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Lận văn trình bày lịch sử nghiên cứu và hình thành số Bernoulli của một số nhà toán học trên thế giới, Trình bày công thức truy hồi tính số Bernoulli kèm chứng minh chi tiết cho công thức đó. Cũng như chứng minh một số tính chất của sô Bernoulli và Từ đó cho ra công thức tổng quát của nhà toán học Bernoulli. Chương 2: Trong chương 2 luận văn tiếp cận cách thức khác để tính số Bernoulli thông qua một hàm sinh. Trình bày lý thuyết về chuỗi lũy thừa hình thức và đa thức Bernoulli cùng khai triển Fourier của đa thức Bernoulli. Chương 3: Luận trình bày lại lý thuyết về số Stirling, hàm Zeta và các mối liên hệ của số Bernoulli với số Stirling và hàm Zeta.