Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát

Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về tính ổn định của mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNGVỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, 04/2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————— o0o ————— LÊ THỊ NHUNGVỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MẠNG NƠ RON PHÂN THỨ VỚI HÀM KÍCH HOẠT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. MAI VIẾT THUẬN Thái Nguyên, 4/2019 1Mục lụcChương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6 1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. Các định lí tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân phân thứ Caputo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Phương pháp hàm Lyapunov cho hệ phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Chương 2 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát 17 2.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2. Tiêu chuẩn ổn định Mittag-Leffler toàn cục . . . . . . . . . . . . 22 2.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Chương 3 Tính ổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạt tổng quát 27 3.1. Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2. Tiêu chuẩn ổn định đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2LỜI NÓI ĐẦU Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậcnguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988 [7].Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa họctrong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong xử lí tínhiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [3, 8, 15]. Năm 2008,trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [3] lần đầutiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ (Caputohoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình viphân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phânphân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính và tínhchất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [3, 15]. Do đó hệ phương trìnhmạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàkhoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron phânthứ đã được công bố trong những năm gần đây (xem [15, 18, 19, 27] và các tàiliệu tham khảo trong đó). Như chúng ta đã biết, tính ổn định là một trong những tính chất cơ bản vàquan trọng của mọi hệ động lực và hệ phương trình vi phân phân thứ cũngkhông là ngoại lệ. Tính ổn định và ổn định hóa của một số lớp hệ phương trìnhvi phân phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoahọc trong những năm gần đây (xem [2, 10, 12, 14, 17] và các tài liệu tham khảotrong đó). Đối với lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ, một vài kết quảthú vị và sâu sắc đã được công bố trong những năm gần đây [20, 22, 25, 26].Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace và sử dụng một số tính chất của đạo hàmphân thứ Caputo, H. Wang cùng các cộng sự [20] nghiên cứu tính ổn định tiệm 3cận cho lớp hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ. Trong [25], các tácgiả nghiên cứu tính ổn định Mittag–Leffler đối với lớp hệ phương trình mạngnơ ron phân thứ với hàm kích hoạt không liên tục. Tính ổn định cho hệ phươngtrình mạng nơ ron phân thứ phức được nghiên cứu trong [26]. Bằng cách tiếpcận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính, các tác giả trong [27] nghiêncứu tính ổn định Mittag–Leffler của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứkhông có trễ với hàm kích hoạt thỏa mãn điều kiện Lipschitz. Gần đây, tínhổn định của hệ phương trình mạng nơ ron phân thứ có trễ với hàm kích hoạttổng quát được nghiên cứu trong [23] với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thứcma trận tuyến tính và định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phânthứ. So với cách tiếp cận sử dụng biến đổi Laplace và tìm nghiệm của đa thứcđặc trưng trong các bài báo [20, 25], cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức matrận tuyến tính có ưu thế là có thể kiểm tra các điều kiện ổn định bằng phầnmềm MATLAB. Ngoài ra, với cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trậntuyến tính, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình mạng nơ ron phân thứcó thể giải quyết không mấy khó khăn. Luận văn tập trung trình bày tính ổn định cho hệ phương trình mạng nơron phân thứ với hàm kích hoạt tổng quát trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợpcác bài báo đã được công bố trong những năm gần đây. Luận văn gồm có 3chương. Cụ thể: Trong chương 1, tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ nhưtích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàmphân thứ Caputo. Sau đó, chúng tôi trình bày một số định lí tồn tại và duynhất nghiệm. Cuối chương, chúng tôi trình bày một số bổ đề bổ trợ. Nội dungchính của chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [10, 12, 13]. Trong chương 2 của luận văn, tôi trình bày một số điều kiện đủ cho hệphương trình mạng nơ ron phân thứ với hàm kích hoạ ...