Lượng giác - 7.Mối quan hệ giữa đại số và lượng giác

Tham khảo sách lượng giác - 7.mối quan hệ giữa đại số và lượng giác, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lượng giác - 7.Mối quan hệ giữa đại số và lượng giácChuyeânñeàLöôïnggiaùcvaøÖÙngduïngPHẦN III: LƯỢNG GIÁC ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ ------------------------------ CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ GIỮA ĐẠI SỐ VÀ LƯỢNG GIÁC Lượng giác và đại số là hai bộ môn của toán học, nhìn bề ngoài thì có vẻ như làkhông liên quan đến nhau nhưng thực sự là chúng có mối liên hệ mật thiết với nhau. Mộtsố bài toán lượng giác nếu giải theo những biến đổi lượng giác thông thường để đưa vềphương trình cơ bản thì rất mất thời gian và có thể là sẽ giải không được. Trong khi đónếu giải bằng phương pháp đại số thì nhanh hơn và trong đại số cũng vậy,cũng nhiều lúccần phải nhờ đến lượng giác. Ta sẽ xét một số bài toán sau để nhìn thấy được mối liên hệgiữa lượng giác và đại số. -------------------------------------------- BÀI 1: PHƯƠNG TRÌNHBài 1: Giải phương trình a) ( 1 + 1 − x2 = x 1 + 2 1 − x2 . ) 1 + 1 − x2  ( 1 + x ) − ( 1 − x )  = 2 + 1 − x2 . 3 3 b)     Lời giải a) Điều kiện xác định: 1 − x ≥ 0 ⇔ −1 ≤ x ≤ 1 . 2  π πĐặt x = sin t với t ∈  − ;   2 2Ta có phương trình: 1 + cost = sin t ( 1 + 2cost ) t t t  t  ⇔ 2cos = 2sin cos 1 + 2  1 − 2sin 2  2 2 2  2  t t 2 ⇔ 3sin − 4sin 3 = 2 2 2 t π ⇔ sin 3. = sin (1) 2 4 π πGiải (1), kết hợp với điều kiện − ≤ t ≤ ta được 2 2  π t = 6  1  ⇔ x = 2 t = π   x =1  2 b) Đặt x = cost với 0 ≤ t ≤ π .Ta có phương trình: 1 + sin t  ( 1 + cost ) − ( 1 − cost )  = 2 + 1 − cos 2t 3 3     Nhoùmhoïcsinhlôùp11A1 97Chöông1:Moáiquanheägiöõañaïisoávaølöôïnggiaùc t t t t  3t 3 t  ⇔ sin 2 + cos 2 + 2sin cos cos 2 − sin 2  2 2 = 2 + sin t 2 2 2 2    t t ⇔  cos 2 − sin 2  ( 2 + sin t ) 2 = 2 + sin t  2 2 ⇔ ( 2 + sin t )  2cost-1 = 0   (2)Vì 2 + sin t > 0 nên phương trình (2) có nghiệm là 1 2cost= tức là x = 2 2Nhận xét: với những bài toán ta thấy điều kiện để phương trình có nghĩa là x ∈ [ −1,1] thìta nên đặt x = sin t hoặc x = cost để được phương trình đơn giản hơn.Bài 2: Giải phương trình 2(tgx-sinx)+3(cotgx-cosx)+5=0 Lời giải kπĐiểu kiện sinx.cosx ≠ 0 ⇔ x ≠ phương trình viết thành 2 1 1 2sinx( − 1)+3cosx( − 1 )+5=0 cos x sin x 2sin 2 x(1- cosx)+3cos 2 x(1-sinx)+5sinx.cosx=0 ⇔ 2sinx[sinx(1-cosx)+cosx]+3cosx[cosx(1-sinx)+sinx]=0 ⇔ 2sinx [ sinx+cosx-sinx.cosx ] +3cosx [ cosx+sinx-sinx.cosx ] =0 (2sinx+3cosx)(sinx+cosx-sinx.cosx)=0  2sin x + 3cos x = 0 (a) ⇔ sin x + cos x − sin x.cos x = 0 (b) 3Phương trình (a) có họ nghiệm thỏa tgx = − 2 3 ⇔ x = arctg (− ) + kπ 2Để giải (b) đặt t=sinx+cosx ⇒ t 2 =1+2sinx.cosx nên(b) viết thành 2 t −1 t = 1 + 2 (loai ) t− =0 ⇔ t 2 -2t-1=0 ⇔  & 2 t = 1 − 2  ...