Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2

Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào thống kê đủ đối với . * Điều kiện cần. Vậy T(X) = (T1(X),…, Ts(X)) làGiả sử (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với. Theo Định nghĩa ta có không phụ thuộc vào. Đặth(x1,…, xn) = Ta biết rằngĐiều kiện cần được chứng minh. Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2]. Ví dụ 2.6. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn N(a; với (a;2). Chứng minh rằng2;là thống kê đủ đối).Giải. Ta có hàm mật...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Lý thuyết mẫu – bài toán ước lượng điểm trong thống kê - 2Xác suất điều kiện này không phụ thuộc vào . Vậy T(X) = (T1(X),…, Ts(X)) làthống kê đủ đối với .* Điều kiện cầnGiả sử (T1(X),…, Ts(X)) là thống kê đủ đối với . Theo Định nghĩa ta cókhông phụ thuộc vào . Đặth(x1,…, xn) =Ta biết rằngMàVậy ta cóĐiều kiện cần được chứng minh.Chứng minh định lí trong trường hợp phân phối liên tục xem trong [2].Ví dụ 2.6. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2 ). Chứng minh rằng là thống kê đủ đốiN(a; ; 2với (a; ).Giải. Ta có hàm mật độ đồng thời của X1,…, Xn là =gtrong đó h(x) = và g = 2Theo Định lí 2.5, cặp ( ) là thống kê đủ đối với (a; ) (X1,…, Xn) xác định trên không gian mẫu Rn và nhậnĐịnh nghĩa 2.7. Thống kêgiá trị trong không gian T được gọi là ước lượng của hàm tham số ( ) (Theođịnh nghĩa của thống kê thì (X) chỉ phụ thuộc X1,…, Xn mà không phụ thuộc ).Định nghĩa 2.8. Ước lượng (X1,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là ướclượng không chệch nếu E (X1,…, Xn) = ( ).Ví dụ 2.9. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối chuẩn 2dạng tổng quát N(a; ).* Trung bình mẫu là ước lượng không chệch của a vì = .* Phương sai mẫu điều chỉnh là ước lượng không chệch 2của . Thật vậy = 2* Phương sai mẫu không là ước lượng không chệch củavìĐịnh nghĩa 2.10. Ước lượng (X1,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là ướclượng không chệch tốt nhất nếu: i1. E (X1,…, Xn) = ( ) * i2. D (X1,…, Xn) D (X1,…, Xn)trong đó *(X1,…, Xn) là ước lượng không chệch bất kỳ của ( ), còn E , D làkí hiệu kỳ vọng toán và phương sai với điều kiện .Định nghĩa 2.11. Ước lượng (X1,…, Xn) của tham số được gọi là ước lượngvững nếu (X1,…, Xn) hội tụ về theo xác suất khi n , nghĩa là: với > 0 tuỳ ý cho trước.Ví dụ 2.12. Trong Ví dụ 2.9, là ước lượng vững của a. vì X1,…, Xn độc lập có 2 2phân phối như nhau với EX1 = … = EXn = a và DX1 = ;…; DXn = , nên theoĐịnh lí Trêbưsep ta có hội tụ về a theo xác suất khi n .Chứng minh tương tự là ước lượng vững của .Định nghĩa 2.13. Phân phối f(x, ) được gọi là chính quy nếu nó thoả mãn cácđiều kiện sau: ) > 0] không phụ thuộc vàoi1) [x; f(x, .i2)Đối với mỗi x và mỗi , tồn tại đạo hàm riêng (x, ).i3 ) =0Số J( ) = được gọi là lượng thông tin Fisher về chứa trong X.Định nghĩa 2.14. Ước lượng (X1, X2,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi làkhông chệch chính quy nếu với mọi nếu X có phân phối liên tục tuyệt đốihoặc nếu X có phân phối rời rạcĐịnh nghĩa trên có thể phát biểu như sau Ước lượng (X1, X2,…, Xn) của hàm tham số ( ) được gọi là không chệchchính quy nếu:Định lí 2.15. (Bất đẳng thức Cramer - Rao)Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên độc lập từ phân phối f(x, ) và ( ) làhàm tham số đã cho. Nếu (X1, X2,…, Xn) là ước lượng không chệch chính quycủa ( ), f(x, ) là phân phối chính quy thì Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi và chỉ khi với mọi thì: với xác suất 1 (X) - ( ) = b( )Chứng minh . Do phân phối f(x, ) và ước lượng (X) là chính quy nên và do X1,X2,…,Xn độc lập, có cùng phân phối nênVìMặt khác =Vì nênTừ đó ta suy ra . Định lí được chứng hayminh.Chú ý: Bất đẳng thức này có thể mở rộng cho trường hợp tham số là một vectơ=( 1,…, r).Định nghĩa 2.16. Ước lượng (X) của hàm tham số ( ) được gọi là ước lượnghiệu quả nếuD (X) = .Ví dụ 2.17. Giả sử (X1, X2,…, Xn) là mẫu ngẫu nhiên từ phân phối Poisson vớitham số > 0. Chứng minh rằng ước lượng là ước lượng hiệu quảcủa .Giải. Ta c ...