Một số bài toán điều khiển tối ưu và tối ưu hóa: Phần 2

Nối tiếp phần 1, phần 2 của tài liệu "Các bài toán cơ bản của tối ưu hóa và điều khiển tối ưu" tiếp tục trình bày các nội dung chính sau: Khái niệm về cực trị phiếm hàm; Điều khiển tối ưu; Một số bài toán tổng hợp tối ưu của hệ điều khiển; Một số bài toán thiết kế tối ưu cơ học. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Một số bài toán điều khiển tối ưu và tối ưu hóa: Phần 2 CỉiươNq VII KHÁI NIỆM VỀ cực TRỊ PHIẾM HÀM Bài toán tối UTJ hoá hệ vô hạn bậc tự do và bài toán điều khiển tối ưu được dẫn đến cực trị phiếm hàm. Cho: y (x ) = [y,(x). y^íx)....... y„(x)]'^ e R', X - b iến độc lập. Nói J(y ) là một phiếm hàm (functionaĩ) nếu mỏi hàm y (x ) tươnơ ứng với m ột giá trị J. h Mõi tích phàn dạng J = J f( x ) d x là một phiếm hàm. Giá trị bằng số của tích phân này phụ thuộc vào dạng của hàm f(x) và giá trị của a, b. 1. CỰC TIỂU PHIẾM HÀM KHÒNG Bị RÀNG BUỘC 1.1 Bài toán Tim hàm khả vi liên tục y(x) sao cho phiếm hàin: J(y) = F ( y , y ', x )élx-> niiii '^ ÍI với điều kiện biên cô' định : y(x„) = y „ ; y( X | ) = y,. ở đây : y ’ = [ y \ ( x ) ..... y ’J x ) ] ‘ ; y \( x ) - d y , /d x . Đối với tố i uu hoá tĩ n h th ì b i ê n độc l ậ p l à b i ế n k h ô n g g i a n X, đ ố i với t ố i UII h o á đ ộ n o l ự c t h ì b i ế n đ ộ c l ậ p là t h ờ i g i a n t. 1.2 Điều kiện để cực trị một phiếm hàm Gọi ỗ y là hiếu phán của y(x) tại X v à ÔJ là b i ế n t h i è n t ư ơ n ơ ứ n s c ủ a J : https://tieulun.hopto.org 144 CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHlEN T ố l ưu 5 J = ] ( | ^ ô y + | L § y ’ )dx J õy dy Hình 7.1.1 Áp dụng tích phân từng phần và đặt ỖJ = 0, ta được: õy dx õ y ’ * Gọi lớp các đường cong cho phép là tập các hàm y (x ) thoả m ãn các ràng buộc và điều kiện biên. * Điểu kiện cần đ ể cực tiểu phiếm hùm: N ếu phiếm hàm J(y) = F ( y , y ',x ) d x đạt giá trị min trên đường cong ỵ ( x ) = [ y * ( x ) ,y * ( x ) ..... y ’ (x) ] ' và nếu hàm F ( y , y ', x ) có đạo hùm riêng liên tục. đối với m ọi hiến, thì y ( x ) phủi thoả mãn phương trình : ỡy dx ổ y' hay; ) = 0; i = l , 2 , . . . , n (7.1.1) ổy, dx ổy'; Phưcmg trình (7.1.1) được gọi là phương trình Euler-Lơgrange. Hàm y*(x) gọi là cực trị (extremal) của phiếm hàm. https://tieulun.hopto.org Chươrĩỉỉ Vll. K H Á I N IỆ M V Ể cự c TRỊ P HlẾM HÀM 145 Đ ây là hệ n phương trình vi phân cấp hai đối với n ẩn yi(x), y2(x).... y„(x), còn 2n hằng số tích phân được xác định lừ đicu kiện biên y(x„) = y,| và y{X|) = y,. N ghiệm của (7.1.1) chì cho đièu kiện cần. Hình ảnh: trong số các đườiiíỉ con^ nối A và B (hình 7.1.1) có một đườn' y*(x), theo đó phiếm hàm J đạt oịá trị nhỏ nhất. Khi biến độc lập là thời oian t, phiếm hàm có dạng: tr J(y )= jF (y ,ý ,t)d t Với; y = [ y , ( t ) , y , ( t ) . . . . , y „ ( t ) f ; ỷ = [ ỷ | ( t ) , ỷ , ( t ) .....ỷ „(t) khi đó phương trình Euler - Lagranse được viết ở dạng : ổy dt ổỷ hay: ( ^ ) = 0; i = l , 2 . n (7.1.2) ổy, dt ỡỳ, Phương trình (7.1.1) hoặc (7.1.2) là hệ phương trình vi phân với điều kiện biên, thuộc lớp bài toán giá trị biên. T h í dụ 7.1.1 Trong chương 1 đã dẫn ra thí dụ 1.2.6. Bây giờ ta oiải chi tiết thí dụ đó. Phiếm hàm mục tiêu; c c ,v 'r J(y) = - ^ < 11- c , ( y „ - y ) d t = Pdt ol+aý 0 0 F = -H iy r - c , ( y „ - y ) 1+ a ỷ ITieo (7.1.2): ổy dt õỷ ÕF ÕF c , ( l + a ỷ ) - a c , ỷ c, ^ = c, ; — =^ = -----^ ^ = c ,(l + a ỷ ) ỡy cý (1 + a ỳ ) (1 + a ỷ ) Thay vào phương trình, ta được: https://tieulun.hopto.org 14?' CÁC BÀI TOÁN Cơ BẢN CỦA T ố l ưu HÓA VÀ ĐlỂU KHIỂN TỐI ưu C| - c , — (1 + a ỳ ) ' ‘ = 0 ^ C-,(1+ aỷ)^^ =Cjt + A ; A=const dt dv ^ = -------^ ^ - T Ì T Ĩ - - ; y( 0) = 0 dt a ( A + C|t) a 2c\'^ y= ac a Tất cả sản phẩm phải được bán hết trong thời gian t| : 1/2 2 c; 1/ 2 A 1/2 t, y = ^ [ ( A + C ,t,r -A ac a Từ đó xác định được A. Đồ thị của phương thức bán hàng t' y(t) được biểu diễn như hình 7.1.2. T h í dụ 7.1.2 Cho phiếm hàm m ục tiêu: ...