MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG ĐIỂN HÌNH

I. Dãy con đơn điệu dài nhất 1. Mô hình Cho dãy a1,a2,..an. Hãy tìm một dãy con tăng có nhiều phần tử nhất của dãy. Đặc trưng: i) Các phần tử trong dãy kết quả chỉ xuất hiện 1 lần. Vì vậy phương pháp làm là ta sẽ dùng vòng For duyệt qua các phần tử aitrong dãy, khác với các bài toán của mô hình 4(đặc trưng là bài toán đổi tiền), các phần tử trong dãy có thể được chọn nhiều lần nên ta thực hiện bằng phương pháp cho giá trị cần quy đổi tăng dần từng đơn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG ĐIỂN HÌNH MỘT SỐ BÀI TOÁN QUY HOẠCH ĐỘNG ĐIỂN HÌNH. I. Dãy con đơn điệu dài nhất 1. Mô hình Cho dãy a1,a2,..an. Hãy tìm một dãy con tăng có nhiều phần tử nhất của dãy. Đặc trưng: i) Các phần tử trong dãy kết quả chỉ xuất hiện 1 lần. Vì vậy phương pháp làm là ta sẽ dùng vòng For duyệt qua các phần tử aitrong dãy, khác với các bài toán của mô hình 4(đặc trưng là bài toán đổi tiền), các phần tử trong dãy có thể được chọn nhiều lần nên ta thực hiện bằng phương pháp cho giá trị cần quy đổi tăng dần từng đơn vị. ii) Thứ tự của các phần tử được chọn phải được giữ nguyên so với dãy ban đầu. Đặc trưng này có thể mất đi trong một số bài toán khác tùy vào yêu cầu cụ thể. Chẳng hạn bài Tam giác bao nhau. 2. Công thức QHĐ Hàm mục tiêu : f = độ dài dãy con. Vì độ dài dãy con chỉ phụ thuộc vào 1 yếu tố là dãy ban đầu nên bảng phương án là bảng một chiều. Gọi L(i) là độ dài dãy con tăng dài nhất, các phần tử lấy trong miền từ a1 đến ai và phần tử cuối cùng là ai. Nhận xét với cách làm này ta đã chia 1 bài toán lớn (dãy con của n số) thành các bài toán con cùng kiểu có kích thước nhỏ hơn (dãy con của dãy i số). Vấn đề là công thức truy hồi để phối hợp kết quả của các bài toán con. Ta có công thức QHĐ để tính L(i) như sau: • L(1) = 1. (Hiển nhiên) • L(i) = max(1, L(j)+1 với mọi phần tử j: 03. Cài đặt Bảng phương án là một mảng một chiều L để lưu trữ các giá trị của hàm QHĐ L(i). Đoạn chương trình tính các giá trị của mảng L như sau: for i := 1 to n do begin L[i] := 1; for j:=1 to i–1 do if (a[j]Việc kiểm tra điểm M có nằm trong tam giác ABC không có thể dựa trên phương pháp tính diện tích: điểm M nằm trong nếu S(ABC) = S(ABM) + S(ACM) + S(BCM). Bài toán có một số biến thể khác như tìm dãy hình tam giác, hình chữ nhật… bao nhau có tổng diện tích lớn nhất. d) Dãy đổi dấu Cho dãy a1, a2,…an. Hãy dãy con đổi dấu dài nhất của dãy đó. Dãy con con đổi dấu ai1,ai2,…aik phải thoả mãn các điều kiện sau: • ai1ai3ai2… • các chỉ số phải cách nhau ít nhất L: i2–i1≥L, i3–i2≥L…. • chênh lệch giữa 2 phần tử liên tiếp nhỏ hơn U: |ai1–ai2|≤U, |ai2–ai3|≤U… Hướng dẫn: Gọi L(i) là số phần tử của dãy con đổi dấu có phần tử cuối cùng là ai và phần tử cuối cùng lớn hơn phần tử đứng trước. Tương tự, P(i) là số phần tử của dãy con đổi dấu có phần tử cuối cùng là ai và phần tử cuối cùng nhỏ hơn phần tử đứng trước. Ta dễ dàng suy ra: • L(i) = max(1, P(j)+1): j≤i–L và ai–U≤aj• Các dòng sau ghi các khối được chọn, mỗi khối đá ghi 4 số T, D, R, C trong đó T là số thứ tự của mỗi khối đá. D, R, C là kích thước của khối đá tương ứng. II. Vali (B) 1. Mô hình Có n đồ vật, vật thứ i có trọng lượng a[i] và giá trị b[i]. Hãy chọn ra một số các đồ vật, mỗi vật một cái để xếp vào 1 vali có trọng lượng tối đa W sao cho tổng giá trị của vali là lớn nhất. 2. Công thức Hàm mục tiêu : f: tổng giá trị của vali. Nhận xét : giá trị của vali phụ thuộc vào 2 yếu tố: có bao nhiêu vật đang được xét và trọng lượng của các vật. Do đó bảng phương án sẽ là bảng 2 chiều. L[i,j] : tổng giá trị lớn nhất của vali khi xét từ vật 1..vật i và trọng lượng của vali chưa vượt quá j. Chú ý rằng khi xét đến L[i,j] thì các giá trị trên bảng phương án đều đã được tối ưu. • Tính L[i,j] : vật đang xét là ai với trọng lượng của vali không được quá j. Có 2 khả năng xảy ra : • Nếu chọn aiđưa vào vali, trọng lượng vali trước đó phải ≤ j-a[i]. Vì mỗi vật chỉ được chọn 1 lần nên giá trị lớn nhất của vali lúc đó là L[i-1,j-a[i]) + b[i] • Nếu không chọn ai , trọng lượng của vali là như cũ (như lúc trước khi chọn ai ): L[i-1,j]. Tóm lại ta có L[i,j]=max(L(i-1,j-a[i]) + b[i], L[i-1,j]). 3. Cài đặt For i:=1 to n do For j:=1 to W do If b[i]Dễ thấy chi phí không gian của cách cài đặt trên là O(m), chi phí thời gian là O(nm), với m là tổng của n số. Hãy tự kiểm tra xem tại sao vòng for thứ 2 lại là for downto chứ không phải là for to. b) Chia kẹo Cho n gói kẹo, gói thứ i có ai viên. Hãy chia các gói thành 2 phần sao cho chênh lệch giữa 2 phần là ít nhất. Hướng dẫn: Gọi T là tổng số kẹo của n gói. Chúng ta cần tìm số S lớn nhất thoả mãn: • S≤T/2. • Có một dãy con của dãy a có tổng bằng S. Khi đó sẽ có cách chia với chênh lệch 2 phần là T–2S là nhỏ nhất và dãy con có tổng bằng S ở trên gồm các phần tử là các gói kẹo thuộc phần thứ nhất. Phần thứ hai là các gói kẹo còn lại. c) Market (Olympic Balkan 2000) Người đánh cá Clement bắt được n con cá, khối lượng mỗi con là ai, đem bán ngoài chợ. Ở chợ cá, người ta không mua cá theo từng con mà mua theo một lượng nào đó. Chẳng hạn 3 kg, 5kg… Ví dụ: có 3 con cá, khối lượng lần lượt là: 3, 2, 4. Mua lượng 6 kg sẽ phải lấy con cá thứ 2 và và thứ 3. Mua lượng 3 kg thì lấy con thứ nhất. Không thể mua lượng 8 kg. Nếu bạn là người đầu tiên mua cá, có bao nhiêu lượng bạn có thể chọn? Hướng dẫn: Thực chất bài toán là tìm các số S mà có một dãy con của dãy a có tổng bằng S. Ta có thể dùng phương pháp đánh dấu của bài chia kẹo ở trên rồi đếm các giá trị t mà L[t]=1. d) Điền dấu Cho n số tự nhiên a1,a2, ...,an. Ban đầu các số được đặt liên tiếp theo đúng thứ tự cách nhau bởi dấu ?: a1?a2?...?an. Cho trước số nguyên S, có cách nào thay các dấu ? bằng dấu + hay dấu − để được một biểu thức số học cho giá trị là S không? Hướng dẫn: Đặt L(i,t)=1 nếu có thể điền dấu vào i số đầu tiên và cho kết quả bằng t. Ta có công thức sau để tính L: • L(1,a[1]) =1. • L(i,t)=1 nếu L(i–1,t+a[i])=1 hoặc L(i–1,t–a[i])=1. Nếu L(n,S)=1 thì câu trả lời của bài toán là có. Khi cài đặt, có thể dùng một mảng 2 chiều (lưu toàn bộ bảng phương án) hoặc 2 mảng một chiều (để lưu dòng i và dòng i–1). Chú ý là chỉ số theo t của các mảng phải có cả phần âm (tức là từ –T đến T, với T là tổng của n số), vì trong bài này chúng ta dùng cả dấu – nên có thể tạo ra các tổng âm. Bài này có một biến thể là đặt dấu sao cho kết quả là một số chia hết cho k. Ta có thuật giải tương tự bài toán trên bằng cách thay các phép cộng, trừ bằng các ...