Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được

Bài viết Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được nghiên cứu tính đặc trưng nhị phân mũ của phương trình thông qua nghiệm của phương trình phi tuyến trong không gian hàm chấp nhận được.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Nhị phân mũ của phương trình vi phân tuyến tính trong không gian hàm chấp nhận được Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 NHỊ PHÂN MŨ CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH TRONG KHÔNG GIAN HÀM CHẤP NHẬN ĐƯỢC Nguyễn Ngọc Huy Trường Đại học Thủy lợi, email: huynn@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG 2) Ánh xạ (t , )  T (t , ) x là liên tục với mọi x  X . Cho X  ( X ,‖  ‖ ) là một không gian Trong bài toán Cauchy: Banach và B( X ) là tập các toán tử tuyến  du( t ) tính bị chặn trên X . Cho A :   B( X ) là   A( t )u( t ), t   ,  dt một hàm liên tục mạnh hay t  A( t )x là liên u(  )  x  X , tục với x  X . Xét phương trình vi phân tuyến tính với A( t ) (trong trường hợp tổng quát) là dx một toán tử tuyến tính không bị chặn trên X ,  A( t )x, t   , x  X (1.1) thì u( t ) : T( t, )u(  ) là nghiệm của bài toán dt và phương trình có nhiễu: trên (xem Pazy [3]). dx Định nghĩa 2. Không gian vectơ E gồm  A( t )x  f ( t ), t   , x  X (1.2) các hàm đo được Borel trên  gọi là không dt trong đó f :   X . gian hàm Banach nếu 1) E có tính chất dàn Banach với chuẩn Trong bài báo này chúng tôi nghiên cứu tính đặc trưng nhị phân mũ của phương trình (1.1) véctơ trong E thì ( E , ‖  ‖E ) là một không gian thông qua nghiệm của phương trình phi tuyến Banach. Trong đó tính chất dàn Banach thỏa (1.2) trong không gian hàm chấp nhận được. mãn có nghĩa là nếu   E ,  là một hàm đo Kết quả chính đạt được là họ tiến hóa được Borel thỏa mãn | (  )||  (  )|,   h.k.n, T (t , ) của phương trình (1.1) có nhị phân thì   E và ‖ ‖E ‖  ‖E . mũ nếu và chỉ nếu họ tiến hóa bị chặn mũ và 2) Hàm đặc trưng  A thuộc E với A là tồn tại duy nhất nghiệm bị chặn của phương tập đo được hữu hạn và sup ‖ [ t ,t 1] ‖E   , trình (1.2) với nhiễu bị chặn trong không gian t   . Các kết quả này được nêu trong định lý inf ‖ [ t ,t 1] ‖E  0 . t 2.1 và định lý 2.2. 3) E  L1,loc (  ) , với mỗi nửa chuẩn pn 2. NỘI DUNG CHÍNH thuộc L1,loc () tồn tại một số  pn  0 thỏa Trước khi đưa ra kết quả chính, chúng tôi mãn pn ( f )   p ‖ f ‖E , f  E . n nhắc lại một số khái niệm và tính chất (trong Định nghĩa 3. Cho E là không gian hàm tài liệu tham khảo [1] và [2]). Banach và X là không gian Banach. Đặt Định nghĩa 1. Họ toán tử tuyến tính bị chặn  : (, X ) : { f :   X , ‖ f () ‖ E} T  ( T( t, ))t trong không gian Banach X là trang bị bởi chuẩn ‖ f ‖ :‖‖ f () ‖‖E , trong một họ tiến hóa liên tục mạnh nếu: 1) T (t , t )  Id và T (t , r )T (r , )  T (t , ) với đó f là đo được mạnh. Thì  là một không t, r,    . gian Banach và được gọi là không gian 85 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2022. ISBN: 978-604-82-7001-8 Banach tương ứng với không gian hàm ‖ T(  ,t )x ‖ Ne ( t  ) ‖ x ‖ , Banach E . (2.3) x  KerP( t ),t   Gọi Cb (  , X ) là không gian các hàm liên Mệnh đề 1. Cho E là không gian hàm tục bị chặn nhận giá trị trong X (trang bị bởi Banach chấp nhận được thì các điều kiện sau chuẩn sup: ‖  ‖ ). Đặt  :   Cb (  , X ) thỏa mãn: trang bị bởi chuẩn ‖ f ‖ : max{‖ f ‖ , ‖ f ‖ } .   Cho   L1,loc (  ) thỏa mãn   0 và Định nghĩa 4. Không gian hàm Banach E 1  E , trong đó 1 được xác định trong gọi là chấp nhận được nếu thỏa mãn: Định nghĩa 4. Với   0 , các hàm    và 1) Tồn tại hằng số M  1 sao cho với mọi khoảng compact [a, b]   ta có:    xác định bởi: ...