Phần III: Vi tích phân

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến số là sự mở rộng một cách tự nhiên và cần thiết của phép tính vi phân hàm số một biến số. Các bài toán thực tế thường xuất hiện sự phụ thuộc một biến số vào hai biến số hoặc nhiều hơn, Vì vậy, khảo sát hàm số nhiều biến số vừa mang tính tổng quát vừa mang tính thực tiễn. Đây là những kiến thức cần thiết để nghiên cứu các kiến thức chuyên...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phần III: Vi tích phân PHẦN II. VI TÍCH PHÂN Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Chương 2. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN 1 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Định nghĩa ánh xạ: Cho X, Y là hai tập bất kỳ. Nếu x ∈ X, cho tương ứng duy nhất một y = f(x) ∈ Y theo qui tắc f, thì f gọi là một ánh xạ từ X vào Y. Ký hiệu: f : X → Y x  f (x) x  y = f (x) • Đơn ánh: ∀x1, x2 ∈ X, x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2) • Toàn ánh: Với mỗi y ∈ Y, ∃ x ∈ X: y = f(x) • Song ánh: Nếu f vừa là đơn ánh và toàn ánh • Nếu f: X→Y là song ánh thì f-1: Y→X là ánh xạ ngược của f 2 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa hàm số: Với X ⊂ R, ta gọi ánh xạ f:X→Y là một hàm số một biến. Ký hiệu là y = f(x). x: biến độc lập y: biến phụ thuộc. Tập X: miền xác định Tập f(X) = {f(x): x ∈ X}: miền giá trị của f Ví dụ: Tìm miền xác định, giá trị: y = 2x2 - 4x + 6 3 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Định nghĩa phép toán: Cho f, g cùng mxđ X: • f = g: f(x) = g(x), ∀ x ∈ X • (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), ∀x∈X • (fg)(x) = f(x)g(x), ∀x∈X f f (x) ( )( x ) = , ∀x ∈ X1 g g( x ) Hàm số f/g có miền xác định X1 = X\{x: g(x) = 0} : • (af)(x) = af(x), ∀x∈X 4 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số hợp: Giả sử y = f(u) là hàm số của biến u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến x. Khi đó f = f[g(x)] là hàm số hợp của f và g. Ký hiệu fog. Ví dụ: Tìm gof, goh, fog, hog g = log x 2 h = ex f = sin x Hàm số ngược: Cho hàm số f có miền xác định X. Nếu f: X→Y là một song ánh thì f-1: Y→X được gọi là hàm số ngược của f. • Đồ thị của f, f-1 đối xứng nhau qua đường y = x. 5 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số đơn điệu: • f gọi là tăng (giảm) trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ (a,b): x1 < x2 => f(x1) ≤ f(x2) (f(x1) ≥ f(x2)) • f gọi là tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a,b) nếu: x1,x2 ∈ (a,b): x1 < x2 => f(x1) < f(x2) (f(x1) > f(x2)) • Hàm số tăng hoặc giảm được gọi chung là hàm số đơn điệu. Chú ý: Một hàm số có thể không đơn điều trên miền xác định X, nhưng lại đơn điệu trên các tập D ⊂ X. 6 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số tuần hoàn: Cho hàm số f có miền xác định X. Hàm số được gọi là tuần hoàn nếu: ∃ T ≠ 0: f(x+T) = f(x), ∀ x ∈ X Số T0 > 0 nhỏ nhất (nếu có) của T được gọi là chu kỳ cơ sở của hàm số f. Ví dụ: Hàm số f(x) = sinx, g(x) = cos(x) tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0 = 2π. Hàm số f(x) = tg(x), g(x) = cotgx tuần hoàn với chu kỳ cơ sở là T0=π. 7 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ Hàm số chẵn, lẻ: f có miền xác định X, với x, -x ∈ X. • f được gọi là hàm số chẵn nếu: f(-x) = f(x), ∀ x ∈ X • f được gọi là hàm số lẻ nếu: f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ X Ví dụ: Hàm số f(x) = cosx +   x2 là Hàm số chẵn x- g( x ) = lg( x + x 2 + 1) Hàm số lẻ Ghi chú: • Hàm số chẵn đối xứng qua Oy • Hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ 8 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ ξ 2. PHÂN LOẠI HÀM SỐ y = xα , với α ∈ R 1. Hàm số luỹ thừa: • α ∈ N: mxđ R • α nguyên âm: mxđ x ≠ 0. • α có dạng 1/p, p ∈ Z: mxđ phụ thuộc vào p chẵn, lẻ • α là số vô tỉ thì qui ước chỉ xét y = xα tại mọi x ≥ 0 nếu α > 0 và tại mọi x > 0 nếu α < 0. Đồ thị của y = xα luôn qua điểm (1,1) và đi qua góc toạ độ (0,0) nếu α > 0, không đi qua góc toạ độ nếu α < 0. 9 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 2. Hàm số mũ: y = ax (a > 0, a ≠ 1) • Hàm số mũ xác định với mọi x dương. • Hàm số mũ tăng khi a > 1. • Hàm số mũ giảm khi a < 1. • Điểm (0,1) luôn nằm trên đồ thị của hàm số mũ. 10 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 3. Hàm số logarit: y = logax, a > 0, a ≠ 1 • Hàm số logarit chỉ xác định với x > 0. • Hàm số logax tăng khi a > 1 • Hàm số logax giảm khi a < 1 • Điểm (1,0) luôn nằm trên đồ thị • Hàm số y = logax là hàm số ngược của số y = ax 11 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ • Một số tính chất của logax: Loga(x1x2) = Loga(x1) + Loga(x2) x1 Loga ( ) = Loga ( x1) − Loga ( x 2 ) x2 Logaxα = αLogax loga b b=a Logcb Logab = Logc a 12 C1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN HÀM SỐ 4. Hàm số lượng giác: • y = sinx, miền giá trị [-1,1], hàm lẻ, chu kỳ 2π • y = cosx, miền giá trị [-1,1], hàm chẵn, chu kỳ 2π • y = tgx, mxđ ∀ x ≠ (2k+1)π/2, hàm lẻ, chu kỳ π • y = cotgx, mxđ ∀ x ≠ kπ, k ∈ Z, hàm lẻ, chu kỳ π ...