Phân tích một số bài toán hình học từ các đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2018

Thông qua việc phân tích và nêu hướng giải quyết một số bài tiêu biểu của kì thi 2018 vừa qua, bài viết đóng góp một cách tiếp cận các bài toán hình học với phong cách tự tin, ngoài giải xong bài toán chúng ta tự phân tích sâu, tìm nguồn bài toán. Tạo tác phong chủ động học toán hình. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phân tích một số bài toán hình học từ các đề thi tuyển sinh THPT chuyên năm học 2018 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 PHÂN TÍCH MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỪ CÁC ĐỀ THI TUYỂN SINH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 Nguyễn Văn Lợi Hội toán học Hà Nội Tóm tắt nội dung Trào lưu thi vào các lớp 10 chuyên và đặc biệt là chuyên toán đã từ lâu là các cuộc cạnh tranh nổi bật. Sau khi phong trào BĐT được giữ ở mức độ thân thiện hơn, thì các bài toán hình học lập tức chiếm ngôi trong cuộc đua kiếm điểm. Hình học phẳng Việt Nam trong phạm vi toán cấp trung học cơ sở nổi tiếng là khó, đây là niềm tự hào của giới chuyên môn, nhưng cũng là gánh nặng của các học sinh lớp 9 khi phải đương đầu với các bài toán hình nhiều khi ngang tầm thi quốc tế. Trước lượng bài ôn luyện khổng lồ, nhiệm vụ cấp bách được đặt ra là: Hãy tìm phương pháp hiệu quả cho cả người học và người dạy môn hình học. Thông qua việc phân tích và nêu hướng giải quyết một số bài tiêu biểu của kì thi 2018 vừa qua, chúng tôi cũng xin đóng góp một cách tiếp cận các bài toán hình học với phong cách tự tin, ngoài giải xong bài toán chúng ta tự phân tích sâu, tìm nguồn bài toán. Tạo tác phong chủ động học toán hình. 1 Cấu hình đồng dạng Bài toán 1 (Đề thi vào THPT chuyên, Sở GDĐT Hà Nội 2018). Cho tứ giác ABCD (không có cạnh nào song song) nội tiếp đường tròn tâm (O). Các tia BA và CD cắt nhau tại điểm F. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vẽ hình bình hành AEDK. a) Chứng minh rằng tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB. b) Gọi M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AD, BC. Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trung điểm đoạn thẳng EF. c) Chứng minh rằng đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN. 17 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 Lời giải và bình luận. − Gọi d là phép đối xứng qua trục đối xứng là đường phân giác góc BFC. d FD FA − Gọi f là phép chiếu (phóng đại) tâm F tỉ lệ k = (= vì FA · FB = FD · FC). FB FC − Tích của hai phép biến hình này là f ◦ d =⇒ Đây là phép biến hình đồng dạng. Qua phép biến hình này D → B, A → C. Vậy ∆FAD → ∆FCB do đó các thành phần được vẽ trong tam giác này có ảnh đồng dạng trong tam giác kia. Vì ACB [ = ADB [ = [ nên ảnh của đường thẳng AK là đường thẳng CA. Tương tự ta có ảnh của đường DAK thẳng DK là đường thẳng BD. Suy ra K → E. Vì đoạn thẳng AD có ảnh là CB nên trung điểm M có ảnh là N của mỗi đoạn thẳng tương ứng. Ta quay lại bài toán. 1. ∆FKD v ∆FEB vì là ảnh của nhau qua f ◦ d. 2. Đường thẳng Gaus của tứ giác toàn phần AFDE − BC. 3. Ta chứng minh phần c) không cần dựa trên kết quả của phần b). ∆FKE có ảnh qua phép biến hình f ◦ d là ∆FET nên đồng dạng. Suy ra các góc FEK d = FTE d = \ MNE. Vậy FE tiếp xúc với đường tròn (EMN).  18 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-16/09/2018 2 Tiếp cận cấu hình từ cách nhìn nhận khác Trong phần này chúng ta xây dựng lại bài toán bằng việc chuyển các cấu hình từ dạng đường tròn về dạng các đường thẳng song song để sử dụng nhóm định lý Thalet. Bài toán 2 (Đề thi vào THPT chuyên ĐHSP Vinh 2018). Cho hai đường tròn (O; R) và (O0 ; r ) cắt nhau tại hai điểm A và B (R > r) sao cho O và O0 ở hai phía đối với đường thẳng AB. Gọi K là điểm sao cho OAO0 K là hình bình hành. a) Chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác vuông. b) Đường tròn tâm K bán kính KA cắt các đường tròn (O; R) và (O0 ; r ) theo thứ tự tại M và N (M, N khác A). Chứng minh rằng \ABM = ABN. [ c) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm C thuộc cung AM không chứa B (C khác A, M). Đường thẳng CA cắt đường tròn (O0 , r ) tại D. Chứng minh rằng KC = KD. Lời giải bình luận. Gọi XY là ảnh của OO0 qua phép chiếu tâm A tỉ lệ 1 : 2. Vì OO0 cắt AK và AB tại điểm giữa của mỗi đoạn, nên KB nằm trên XY. Do đó: 1. KB ⊥ AB do đó tam giác AKB là tam giác vuông. 2. Cách xác định vị trí của M và N: Vì M là giao của đường tròn (O, R) và đương tròn (K, KA) nên nó là điểm đối xứng trục của A qua trục OK. Tương tự như vậy N và A đối xứng qua trục O0 K. 19 Hội thảo khoa học, Ninh Bình 15-1 ...