Phụ lục cần thiết và một số bài luyện tập thêm cho bài 2

Phụ lục cần thiết và một số bài luyện tập thêm cho bài 2 này quan trọng và hay, nó làm phong phú kiến thức cho bài 2 và đưa thêm một số minh họa điển hình. Nội dung của phụ lục này hữu ích cho việc ôn tập thi THPT và Đại học vào mùa hè tới của các em. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phụ lục cần thiết và một số bài luyện tập thêm cho bài 2 PHỤ LỤC CẦN THIẾT & MỘT SỐ BÀI LUYỆN TẬP THÊM CHO BÀI 2Trước khi nghiên cứu tiếp Bài 4 và 5(Thầy sẽ UpLoad vào thời gian tới), thầy thấy nhấtthiết phải làm phong phú thêm lý thuyết và tăng cường một số bài thực hành (ví dụ minhhọa) cho Bài 2. Thêm hiểu biết-thêm kiến thức- không bao giờ thừa, phải không các em?.Chính vì vậy thầy viết thêm phụ lục này cho Bài 2.1/Kết thúc bài 2, ta đã chứng minh được x1  x2  x3  ...  xn a=  g  n x1. x2 .x3 ...xn (*) nvới các x1, x2, x3, . . .,xn phân biệt.Phụ lục này cho các bạn thấy việc áp dụng kết quả trên đây để giải một số bài toán thựctế hay hoặc khó là rất hiệu quả (ngắn gọn đến bất ngờ, chẳng hạn , xem ví dụ 2,3,4,5 và9…). Hơn nữa, về mặt lý thuyết nó cung cấp cho các bạn khái niệm về “Trung bình Lũythừa” gặp trong nhiều đề thi vào THPT và đại học.Ví dụ 1. Từ tất cả các hình hộp chữ nhật có tổng độ dài của 3 cạnh vuông góc với nhaucho trước, tìm hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất.Đáp.Đặt m=a+b+c là tổng 3 cạnh cho ở đầu bài, V=a.b.c là thể tích hình hộp chữ nhật. Vì 3 abc m V  3 a.b.c   3 3 m3 mNên V  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a=b=c= nghĩa là khi hình hộp chữ nhật là 27 3hình lập phương.Ví dụ 2. Chứng minh bất đẳng thức n  n 1  n! <   với n ≥ 2 (1)  2 Đáp. n 1  2  3  ...  n  n  1 n n  1Dùng (*) ta có n !  n 1.2.3...n    n 2n 2Nâng cả hai vế bất đẳng thức vừa nhận được ngay trên đây lên lũy thừa n ta được bấtđẳng thức (1) cần chứng minh! 1  a1  a2  ...  an  2/Định nghĩa Trung bình Lũy thừa: Số c =   gọi là Trung bình lũy  n thừa bậc  của các số a1, a2,. . .,an.Các trường hợp riêng. a1  a2  ...  an *Nếu  = 1 ta có c1 = là trung bình cộng. n 1  a 2  a2 2  ...  an 2  2 *Nếu  = 2 ta có c2 =  1  là trung bình bình phương.  n  1  a 1  a2 1  ...  an 1  n *Nếu  = -1 ta có c-1 =  1   1 1 là trung  n  1   ...  a1 a2 an bình điều hòa.Ví dụ 3. Chứng minh rằng nếu a1, a2, . . ., an là các số dương và  < 0 <  thì c  g  c (2)Nghĩa là: o Trung bình lũy thừa với số mũ âm không vượt quá trung bình nhân. o Trung bình lũy thừa với số mũ dương không nhỏ hơn trung bình nhân. o Đặc biệt từ (2) ta suy ra rằng Trung bình Điều hòa c-1 không thể vượt quá Trung bình Cộng c1 ( c-1 < c1).Đáp. Dùng bđt (3) ở Bài 2, ta có a1  a2  ...  an n a1 a2 ...an  n 1 1Nâng cả hai vế của bđt trên đây lên lũy thừa và nhớ rằng < 0 ta có   1  a1  a2  ...  an  g = a1a2 ...an   n  = c  n Vế thứ nhất của bđt (2) đã được chứng minh. Vế thứ hai của bđt ấy chứng minh tương tự.Ví dụ 4. Chứng minh rằng nếu a1, a2, . . .,an là các số dương thì 1 1 1  ( a1 + a2 + . . .+an )    ...    n2 (3)  a1 a2 an Đây là một bài hay và khá khó & phức tạp nếu không biết chọn cách chứng minh.Song nếu biết chọn cách chứng minh thì việc chứng minh không dài quá một nửa dòngkhổ giấy A4! Các em lưu ý!Đáp. Vì c-1  g  c1 nên n a1  a2  ...  an c-1 =  = c1 1 1 1 n   ...  a1 a2 an ...