Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET

Tham khảo tài liệu phương pháp 8: sử dụng nguyên lý đirichlet, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLETPhương pháp 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ ĐIRICHLET Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2con trở lên.Ví dụ 1: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n.Giải: Lấy n + 1 số nguyên đã cho chia cho n thì được n + 1 số dư nhận 1trong các số sau: 0; 1; 2;…; n - 1  có ít nhất 2 số dư có cùng số dư khi chia cho n.Giả sử ai = nq1 + r 0rBài 3: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chiahết cho 5.Bài 4: Có hay không 1 số có dạng: 19931993 … 1993000 … 00  1994 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐBài 1: Xét dãy số 17, 172, …, 1725 (tương tự VD2)Bài 2: Ta có 1994 số nguyên chứa toàn bộ số 1 là: 1 11 111 … 111     11  1994 sè 1Khi chia cho 1993 thì có 1993 số dư  theo nguyên lý Đirichlet có ít nhất 2số có cùng số dư.Giả sử đó là ai = 1993q + r 0  r < 1993 aj = 1993k + r i > j; q, k  N  aj - aj = 1993(q - k) (q  k ) 111   00  0  1993     11  i - j 1994 sè 1 i sè 0 j  1993 ( q  k ) 111   . 10   11  i - j 1994 sè 1 mà (10j, 1993) = 1 111    1993 (ĐPCM)   11  1994 sè 1Bài 3: Xét dãy số gồm 17 số nguyên bất kỳ là a1, a2, …, a17Chia các số cho 5 ta được 17 số dư ắt phải có 5 số dư thuộc tập hợp{0; 1; 2;3; 4} Nếu trong 17 số trên có 5 số khi chia cho 5 có cùng số dư thì tổng củachúng sẽ chia hết cho 5. Nếu trong 17 số trên không có số nào có cùng số dư khi chia cho 5 tồn tại 5 số có số dư khác nhau  tổng các số dư là: 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 10 10 Vậy tổng của 5 số này chia hết cho 5.Bài 4: Xét dãy số a1 = 1993, a2 = 19931993, … a1994 = 1993     1993  1994 sè 1993đem chia cho 1994  có 1994 số dư thuộc tập {1; 2; …; 1993} theo nguyênlý Đirichlet có ít nhất 2 số hạng có cùng số dư.Giả sử: ai = 1993 … 1993 (i số 1993) aj = 1993 … 1993 (j số 1993)  aj - aj  1994 1  i < j  1994 ni  1993 1993    . 10    1993 j - i sè 1993