Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán cực trị và chứng minh BĐT

BĐT và cực trị thường gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ĐH – CĐ. Tài liệu Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán cực trị và chứng minh BĐT sau đây giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứng minh BĐT đó là kĩ thuật “đưa về một biến”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương pháp đưa về một biến trong các bài toán cực trị và chứng minh BĐT www.VNMATH.comNguyễn Tất Thu PHƯƠNG PHÁP ðƯA VỀ MỘT BIẾN TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ VÀ CHỨNG MINH BðTBðT và cực trị thường gây khó khăn cho không ít thí sinh trong các kì thi ðH – Cð . Trong bàiviết này tôi xin giới thiệu với các bạn một kĩ thuật quen thuộc mà chúng ta thường gặp trong chứngminh BDT ñó là kĩ thuật “ðưa về một biến” 5 4 1Ví dụ 1. Cho x > 0, y > 0 và x + y = . Chứng minh : + ≥ 5 (1) 4 x 4y 5 4 1Lời giải: Ta có x + y = ⇒ 4y = 5 − 4x ⇒ (1) ⇔ + ≥ 5. 4 x 5 − 4x  5 ( ) 4Xét f x = + 1 x 5 − 4x , x ∈  0;  ⇒ f x = − 4 + 4 ( ) ,f x = 0 ⇔ x =1 ( ) x2 ( )  4 2 5 − 4x ( ) ()Từ bảng biến thiên ta ñược: min f x = f 1 = 5 , từ ñó suy ra  5 4 + x 4y 1 ≥ 5.  0;   4 1ðẳng thức xảy ra khi x = 1, y = . 4Ví dụ 2. Cho x , y ∈  −3;2  thỏa x 3 + y 3 = 2 . Tìm GTLN, GTNN của biểu thức P = x 2 + y2 .Lời giải.Từ giả thiết ta suy ra ñược x = 3 2 − y 3 thay vào P ta ñược ( ) 2 3P = 3 (2 − y 3 )2 + 3 y3 = 3 (2 − t )2 + t 2 = f (t )Trong ñó ta ñã ñặt t = y 3 . Vì x ∈  −3;2  ⇒ x 3 ∈  −27; 8  ⇒ −27 ≤ 2 − y 3 ≤ 8 ⇔ −6 ≤ y 3 ≤ 29 ,do y 3 ∈  −27; 8  ⇒ t ∈  −6; 8  . 2 2Xét hàm số f (t ) trên D =  −6; 8  , ta có: f (t ) = − 33 t 3.3 2 − t⇒ f (t ) = 0 ⇔ 3 2 − t = 3 t ⇔ t = 1 . t −6 0 1 2 8Dựa vào bảng biến thiên ta có ñược f − || + 0 − || +min P = min f (t ) = f (0) = f (2) = 3 4 D f { }ðạt ñược khi x , y ∈ 0, 3 2 .max P = max f (t ) = f (−6) = 4 + 3 36 . ðạt ñược khi x , y ∈ − 3 3;2 . D { }Nhận xét:* Cách giải trên chỉ ñòi hỏi chúng ta kĩ thuật khảo sát hàm số. Cái khó của bài toán trên là ñiều kiệnhạn chế của x , y ∈  −3;2  ! Nếu x , y không bị ràng buộc bởi ñiều kiện này thì bài toán trở nên ñơngiản và ta có thể giải bài toán trên theo cách chuyển qua tổng và tích của x , y . 1 www.VNMATH.comNguyễn Tất Thu  a3 − 2 a 3 − 3ab = 2   b = a3 − 8ðặt a = x + y, b = xy ⇒  2 ⇔ 3a ⇒ ≤ 0 ⇔ 0 0 ) 3(a 2 + b2 ) + 3(a + b) ab 3Khi ñó : (1) ⇔ + − (a 2 + b2 ) ≤ (a + 1)(b + 1) a +b 2 3t 2 + 6t − 18 + 3t 3 − t 3 12⇔ + − t 2 − 2t + 6 ≤ ⇔ −t 2 + t + ≤ 4 (1.1) ...