Ứng dụng tâm tỉ cự giải bài toán cực trị Hình học

Tài liệu Ứng dụng tâm tỉ cự giải bài toán cực trị Hình học được biên soạn với các nội dung: Cơ sở phương pháp giải sử dụng tâm tỉ cự, ứng dụng tâm tỉ cự để giải bài toán cực trị Hình học. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Ứng dụng tâm tỉ cự giải bài toán cực trị Hình họcNG D NG TÂM T CGI I BÀI TOÁN C C TR HÌNH H CBatigoal–mathscope.orgEmail: hoangquan9@gmail.comB n quy n chuyênc ngthu c vBatigoal. Chuyênng các b n yêu toán. N u b n nào mu n sthương m i hay dùng cho các cu c thi vi t chuyênvi t ra nh m ph c vd ng cho m cph i có síchng ý c atác gi .I.CƠ SPHƯƠNG PHÁP GI I SD NG TÂM T CXu t phát t vi c khai thác bài toán sau:Cho h n i m A1 , A 2 ,..., A n và n s k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0a,Ch ng minh r ng có duy nh t m t i m G sao cho:uuuruuuuruuuu rrk1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0i m G như th g i là tâm t c c a hi m Ai , g n v i các h s ki .Trong trư ng h p các h s ki b ng nhau (và do ó có th xem các ki1), thì G g i là tr ng tâm c a hu b ngi m Ai .b, Ch ng minh r ng n u G là tâm t c nóicâu a, thì m i i m O b t kì ta có:uuur 1 uuuruuuuruuuurOG = (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn )kCh ng minhBatigoalEmail:hoangquan9@gmail.comuuuruuuuruuuurra,Tacó k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0uuuruuur uuuuruuur uuuur r⇔ k1 GA1 + k2 (GA1 + A1 A2 ) + ... + kn (GA1 + A1 An ) = 0uuuruuuuruuuuruuuur⇔ (k1 + k2 + ... + kn )GA1 = k2 A2 A1 + k3 A3 A1 + ... + kn An A1uuuuruuuuruuuuruuur k A A + k A A + ... + k A A2 2 13 3 1n n 1vì k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0⇔ GA1 =k1 + k2 + ... + knV y i m G xácnh và duy nh t.uuuruuuuruuuurrb, V i i m O b t kì , ta có k1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0uuuur uuuruuuuu uuurruuuuu uuur rr⇔ k1 (OA1 − OG ) + k2 (OA2 − OG ) + ... + kn (OAn − OG ) = 0uuuruuuruuuuruuuur⇔ (k1 + k2 + ... + kn )OG = k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAnuuuruuuuruuuuruuur k OA + k OA + ... + k OA 1 uuuruuuuruuuurnn= (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn ) ( fcm)⇔ OG = 1 1 2 2k1 + k2 + ... + knkvì k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 .V y t bài toán này ta có hai k t qu quan tr ng sau:1. Cho h n i m A1 , A 2 ,..., A n và n s k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0Khi ó có duy nh t m t i m G sao cho:uuuruuuuruuuu rrk1 GA1 + k2 GA2 + ... + kn GAn = 0i m G như th g i là tâm t c c a hi m Ai , g n v i các h s ki .2. N u G là tâm t c thì m i i m O b t kì ta có:uuur 1 uuuruuuuruuuurOG = (k1 OA1 + k2 OA2 + ... + kn OAn )kBây gi ta s s d ng hai k t qu nàygi i các bài toán qu tích và c c tr hìnhh c.BatigoalEmail:hoangquan9@gmail.comIII.NG D NG TÂM T C1. D NG I C c trGI I BÀI TOÁN C C TR HÌNH H Cdài véc tơ.Nh n xét : Áp d ng tâm t c :k1 , k2 ,..., kn mà k1 + k2 + ... + kn = k ≠ 0 và ư ngCho n i m A1 , A 2 ,..., A n v i n sth ng d ( ho c m t ph ng(P)) .Tìm i m M trên ư ng th ng d ( ho c mp(P)) saouuuuruuuuruuuurcho k1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn nh nh t.Cách gi iuuruuuruuurrBư c 1: Áp d ng tâm t c . G i I là i m th a mãn k1 IA1 + k2 IA2 + ... + kn IAn = 0Bư c2: Áp d ng quy t c 3 i m bi ni:uuuuruuuuruuuuruuuruuurk1 MA1 + k2 MA2 + ... + kn MAn = (k1 + k2 + ... + kn ) MI = k MIBư c 3: Tìmdài nh nh t c a véc tơ ã cho x y ra khi Mv trí nào?Ví d 1.1: Cho tam giác ABC và ư ng th ng d . Tìm i m M trên ư ng th ng dsao chouuur uuur uuuurMA + MB + 2 MC nh nh tGi iuu uur ruurrCh n i m I th a mãn IA + IB + 2 IC = 0 , khi ó i m I là tâm t c c a A, B, Cg n v i b s (1, 1, 2) nên i m I xácnh duy nh t.Ta có:uuur uuur uuuur uuu uur ruuu uur ruuu uurruuu uu uur r r uuruuurMA + MB + 2MC = ( MI + IA) + ( MI + IB) + 2( MI + IC ) = 4 MI + IA + IB + 2 IC = 4 MI vìuu uur r uur rIA + IB + 2 IC = 0uuur uuur uuuuruuuruuur uuur uuuurV y . MA + MB + 2MC = 4 MI Do ó MA + MB + 2 MC nh nh t khi và ch khi Mlà hình chi u vuông góc c a I lên ư ng th ng d.BatigoalEmail:hoangquan9@gmail.comVí d sau minh h a cho cách dùng tâm t c gi i bài toán c c trong m t ph ngt aOxy.Ví d 1.2TRong m t ph ng t aOxy cho tam giác ABC có A(-1;0), B(2;3), C(3;-6) vàuuur uuur uuuurư ng th ng ∆ : x − 2 y − 3 = 0 . Tìm i m M trên ∆ sao cho MA + MB + MC nhnh t.Gi iuuu uuu uuurrrrG i G là tr ng tâm tam giác ABC ta có GA + GB + GC = 0 . Và tr ng tâm G có t a−1 + 2 + 3 0 + 3 − 64;) = ( ; −1)333uuur uuur uuuuruuuu uuu uuu uuurrrruuuuruuur uuur uuuuruuuurTa có MA + MB + MC = 3MG + GA + GB + GC = 3MG nên MA + MB + MC = 3 MGG=(uuuurV y nh nh t ⇔ MG nh nh t ⇔ M là hình chi u vuông góc c a G lên ư ngth ng ∆ .43G i d là ư ng th ng qua G ( ; −1) và vuông góc v i ư ng th ng ∆ : x − 2 y − 3 = 0uurnên ư ng th ng d có vec tơ pháp tuy n nd (2;1) .43Phương trình t ng quát ư ng th ng d : 2( x − ) + ( y + 1) = 0⇔ 2x + y −5= 0.3T a ô i m M c n tìm là nghi m c a h phương trình:x − 2y −3 = 052x + y − = 03V y M(Batigoal19 −13) là i m c n tìm;15 15x=1915y=⇔−1315uuur uuur uuuurMA + MB + MC nh nh tEmail:hoangquan9@gmail.comMR NG : V i vi c n m t t cách gi i trên, sau này lên l p 12 h c sinh cũng cóth làm t t các ...