Giáo trình Giải tích lồi: Phần 2

Tiếp nối phần 1, phần 2 giáo trình gồm nội dung chương 4 - Dưới vi phân và chương 5 - Bài toán cực trị. Giáo trình này dành cho các học viên cao học, nghiên cứu sinh và sinh viên toán của các trường đại học. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Giải tích lồi: Phần 2loi Chương IV D Ư Ớ I V I PHÂN 4.1. ĐẠO HÀM T H E O PHƯƠNG Giả sử f là h à m xác định trên không gian lồi địa p h ư ơ n gHausdortf X |/(;r)| < +00.Đ i n h nghĩa 4.1. Dạo hàm của hàm f theo phương (ỉ tại, i ký hiệu là f(x; d), được định nghĩa là giới hạn sau: ỉ (.r; d) := l i m -y A 1.0 Ảnến giới hạn này t ồ n t ạ i (có t h ề hữu hạn hoặc ± o o ) . Nhận xét ị.Ì /(.(•;.) là h à m thuần nhất dương. Thật vậy, VA > 0, { ỉ + / 10)Mênh đề 4.1. G i ã sir ọ là h à m l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n R.K h i (ló, ỳ có đ ạ o h à m p h á i -pẠ-) t ạ i m ọ i đ i ể m của. domxp.Đồm* t h à i . -p (t) + l à h ù m k h ô n g g i ả m và. n h ậ n giá t r ị hữuhạn khi / 6 iiitỊdoiìì^). Chứ nọ mãnh L ấ y tị < / 3 . v ớ i / 1 , í 2 £ domọ. B ơ i vì h à m y l ồ i v à : 3 - í ,cho urn: ti — t l t:i — tị l ị — I ^Ơ2)-y-(M < >W)-*>(*i) < y g ự a ) - ^ ) . /a - f , /3 - í Ì ( ) ) D o f l ỏ V ( V i t e < / o m ^ ^ Ac (lạo h à m p h á i ý?+(f) . ý>+(f) = ^ (/; 1) = l i m í . A|0 A106 Hơn nữa, v ớ i fi,Í2 £ domip v à 0 < ỗ < í 2 — í Ì , t ừ (4.1) tanhận đirợc: y+Ci) S ị < v ơ a ) - y ( * i ) < y(*2 + A ) - y ( t )2 Í2 - í Ì A v+ơi) < V+(*2), tức là < j 3 + ( . ) không giầm v à |y?+(í)| <+oo khi í G intịdonvp). •Đ i n h l ý 4 . 1 . G i ả sử / là h à m lồi chính thường trên -Ý.K h i đ ó , / có đạo h à m theo phương t ạ i mọi đ i ể m X € dom f .Đồng t h ờ i , _ • f(x + X d ) - f { x ) n f ị {xd) = mĩ f . (4.2) A>0 A Chứng minh Lấy X G domf, d e X. Đ t if(t) := f ( x + td). Khi đó, iflà h à m lồi chính t h ư ờ n g trên R và 0 €E dơrrup. Mệnh đ ề 4.1chỉ ra đạo h à m phải ¥>+(()) tồn t ạ i . Đồng t h ờ i , ¥>+(0) = /(*; 107 Nhận xét ị.2 Nếu / l à l ồ i c h í n h t h ư ờ n g t r ê n x,x G dom/, thì f{x,.)là h à m l ồ i . T h ậ t v ậ y , l ấ y di, (Ỉ2 € X, ta có: /(x+J(di + d 2 ) ) - f ( x ) f(xdi + d ) = lim 2 MO A / ( | ( T + Adi) + è(g + A r f 2 ) ) - / ( » ) é = 2 lim — ĂỊo A /(g + A 0 : XXQ G lĩ. D O /liên t ụ c t ạ i đ i ể m Axo, v ớ i m ọ i e > 0 , t ồ n t ạ i l â n c ậ n V củaXx 0 sao cho: |/(x)-/(Axo)|108 Ì ÌTa có ^-V l à m ộ t l â n c ậ n của .ro v à V.Ỉ 6 -~v, Ả ...