PHƯƠNG PHÁP TÍNH (TL-TĐ BKĐN) Chương 7 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Tham khảo tài liệu phương pháp tính (tl-tđ bkđn) chương 7 giải gần đúng phương trình đạo hàm riêng bằng phương pháp số, kỹ thuật - công nghệ, kiến trúc - xây dựng phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
PHƯƠNG PHÁP TÍNH (TL-TĐ BKĐN) Chương 7 GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐKhoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNGChương 7 BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ NUMERICAL METHOD FOR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS Các hiện tượng vật lý trong tự nhiên thường rất phức tạp, nên thường phải môtả bằng các phương trình đạo hàm riêng. Mỗi loại phương trình đạo hàm riêngthường đòi hỏi các điều kiện biên tương ứng để bài toán có nghiệm, phù hợp với hiệntượng vật lý quan sát.7.1 PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG BẬC 2 TUYẾN TÍNHTừ dạng tổng quát: 2u 2u  2u u u (7.1) A B C 2 D  E  Fu  g(x , y ) 2 x xy y x yPhân loại với chú ý các đạo hàm bậc cao, khi đó (7.1) được viết lại:  2u  2u  2u  C 2  f u x , u y , u , x , y  A 2 B (7.2) x xy yĐơn giản (7.2) bằng cách đổi biến số:  = (x , y) ,  = (x , y)Đặt:  = x + y ,  = x + y u u  u  u u    x  xHay: x  x  x y Tương tự cho các đạo hàm khác ta được: 2u u u 2 2 (A 2 C 2 B) = f(A C  B) [2A 2C B( )] (7.3)    Một cách đơn giản để tìm lời giải của phương trình này, là chọn ,  sao cho sốhạng thứ nhất và thứ ba trong phương trình (7.3) triệt tiêu: A  2  B  C 2  0 2 2 A   B  C  0Ta được dạng đơn giản:  2u [ 2A   2C  B(   )] Giả sử:   0,   0 ta có: Trang: 67Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhKhoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật A(/ )2 + B(/) + C = 0, A(/)2 + B(/) + C = 0  1 2    2A ( B  B  4AC )      1 ( B  B 2  4AC )   2A  B2 - 4AC > 0 : Phương trình HyporbolKẾT LUẬN: B2 - 4AC < 0 : Phương trình Ellip B2 - 4AC = 0 : Phương trình ParabolChú ý: Không phân biệt biến t, x, y, z7.2 CÁC BÀI TOÁN BIÊN THƯỜNG GẶP Trong lĩnh vực kỹ thuật, người ta thường hay gặp các bài toán biên sau: a. Bài toán Dirichlet Tìm hàm u thoả mãn phương trình:  a(u,v) = (f,v) trong miền () và trên biên  của () cho trước giá trị của u ( ) u = f(v) Nếu trên biên cho u = 0 thì ta có điều kiện biên Dirichlet thuần nhất. Điều kiện biên Dirichlet được gọi là điều kiện biên cốt yếu (essential boundary conditions). b. Bài toán Neumann  Tìm hàm u thoả mãn phương trình: a(u,v) = (f,v) trong () và điều kiện biên: u  f ( v) n  Trang: 68Bài Giảng Chuyên Đề Phương Pháp TínhKhoa Xây Dựng Thủy Lợi Thủy Điện Bộ môn Cơ Sở Kỹ Thuật Nếu f(v) = 0 ta có bài toán Neumann thuần nhất. Để cho bài toán Neumann cónghiệm duy nhất ta phải đặt thêm điều kiện g(1) nào đó. Điều kiện biên Neumanncòn gọi là điều kiện biên tự nhiên (natural boundary conditions). c. Bài toán hổn hợp o Với bài toán hổn hợp (mixed boundary conditions) là bài toán mà biên  của nó gồm hai phần o và 1. Ví dụ tìm hàm u thoả  mãn phương trình: 1 a(u,v) = (f,v) trong () Với điều kiện biên: u ...