Phương tích - Trục đẳng phương

Để giúp cho học sinh dễ dàng đạt được điểm cao trong các kì thi Đại học - Cao đẳng đặc biệt là phần Hình học về Phương tích - Trục đẳng phương. Mời các bạn tham khảo tài liệu này nhé.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương tích - Trục đẳng phương A.Tóm t t lý thuy t:1.Phương tích c a m t đi m đ i v i đư ng trònĐ nh lý 1.1:Cho đư ng tròn (O,R) và m t đi m M trên m t ph ng cách O m t kho ng b ng d.. T Mk cát tuy n MAB t i (O). Khi đó MA.MB = d2-R2 (*) Hình 1Đ nh nghĩa: Ta g i đ i lư ng d2-R2 là phương tích c a đi m M đ i v i (O), kí hi u làPM/(O)=d2-R2Nh n xét: N u PM/(O)>0 thì M n m ngoài (O),PM/(O)=0 thì M n m trên biên(O),PM/(O)Đ nh nghĩa 2.1: Đư ng th ng MH đư c g i là tr c đ ng phương c a hai đư ng tròn.Cách d ng tr c đ ng phương:Trư ng h p 1: (O1) giao (O2) t i 2 đi m phân bi t A,B. Đư ng th ng AB chính là tr cđ ng phương c a (O1) và (O2)Trư ng h p 2: (O1) và (O2) ch có m t đi m chung X. Ti p tuy n chung t i X c a haiđư ng tròn là tr c đ ng phương c a (O1) và (O2)Trư ng h p 3: (O1) và (O2) không có đi m chung, d ng đư ng tròn (O3) có hai đi mchung v i (O1) và (O2). D dàng v đư c tr c đ ng phương c a (O1) và (O3), (O2) và(O3). Hai đư ng th ng này giao nhau t i M. T M k MH ⊥ O1O2. MH chính là tr c đ ngphương c a (O1) và (O2). 4Cách d ng này d a vào đ nh lý sau:Đ nh lý 2.2: Cho ba đư ng tròn (O1),(O2),(O3).l1,l2,l3 theo th t là tr c đ ng phương c a các c p haiđư ng tròn (O1) và (O2), (O2) và (O3), (O3) và (O1)+N u O1,O2,O3 không th ng hàng thì l1,l2,l3 đ ng quy.+N u O1,O2,O3 th ng hàng thì l1,l2,l3 đôi m t song song ho c trùng nhau.Đ nh nghĩa 2.2: Đi m đ ng quy c a các đư ng th ng l1,l2,l3 đư c g i là tâm đ ngphương c a các đư ng tròn (O1),(O2),(O3)3.Phương tích, tr c đ ng phương trong h to đ :Đ nh lý 3.1: Trên m t ph ng to đ Oxy cho đư ng tròn (C) có phương trình:C(x,y)=x2+y2+2ax+2by+c=0 v i a2+b2>c. Khi đó, phương tích c a đi m M(xo,yo) đ i v iđư ng tròn (C) là PM/(C)=xo2+yo2+2axo+2byo+c=C(xo,yo)Nh n xét: V trí c a M đ i v i (C): M n m ngoài (C) ⇔ C(xo,yo)>0, M n m trên (C)⇔ C(xo,yo)=0, M n m trong (C) ⇔ C(xo,yo)B.Ví d :1. Ch ng minh các h th c hình h c:Ví d 1:Cho tam giác ABC n i ti p (O,R), ngo i ti p (I,r). CMR OI2=R2-2Rr (h th c Ơ-le)L i gi i: Kéo dài BI c t (O) t i M. K đư ng kính MK c a (O). (I) ti p xúc v i BC t i D.Ta có △ BDI ~△ KCM ( g .g ) BI ID ID⇒ = = KM MC MI⇒ IB.IM=ID.KM=2RrMà IB.IM=R2-OI2V y OI2=R2-2Rr (đpcm)Ví d 2:Cho t giác ABCD v a n i ti p (O,R), v a ngo i ti p (I,r). Đ t OI=d. CMR: 1 1 1 2 + 2 = 2 (Đ nh lý Fuss)(R − d ) (R + d ) rL i gi i: 6Kéo dài BI, DI c t (O) t i M,N.Ta có ∠ MNC= ∠ IBC, ∠ NMC= ∠ IDCSuy ra ∠ MNC+ ∠ NMC= ∠ IBC+ ∠ IDC=1/2( ∠ ADC+ ∠ ABC)=90oSuy ra O là trung đi m MN.Áp d ng công th c tính đư ng trung tuy n trong tam giác IMN ta có: 2 2 IM IN 2 MN 2 IM 2 IN 2OI = + − = + − R2 2 2 4 2 2 1 1 2( R + d 2 ) IM 2 + IN 2 2 IM 2 IN 2Do đó + = 2 = = + 2 2 ( R − d ) 2 ( R + d )2 ( R − d 2 ) 2 ( PI / (O)) 2 IM 2 .IB 2 IN .ID ∠B ∠D sin 2 sin 2 1 1 2 + 2 = 1 (đpcm)= 2+ 2 = 2 2 IB ID r r r22.Tính các đ i lư ng hình h c: Ví d (USAMO 1998):Cho 2 đư ng tròn đ ng tâm O (C1) và (C2) ((C2) n m trong (C1)). T m t đi m A n mtrên (C1) k ti p tuy n AB t i (C2). AB giao (C1) l n th 2 t i C. D là trung đi m AB.M t đư ng th ng qua A c t (O2) t i E,F sao cho đư ng trung tr c c a đo n DF và EC AMgiao nhau t i đi m M n m trên AC.Tính ? MCL i gi i: 7D th y B là trung đi m AC. 1Ta có PA/(C2)= AE. AF = AB 2 = AB.2 AB = AD. AC 2Suy ra t giác DCFE n i ti p.Do đó M là tâm đư ng tròn ngo i ti p t giác DCFE. Mà M 1n m trên AC nên MD=MC= DC 2 5 3T đó tính đư c AM= AB và MC= AB 4 4 AM 5⇒ = MC 33. Ch ng minh t p h p đi m cùng thu c m t đư ng tròn:Ví d 1 (IMO 2008):Cho tam giác ABC, tr c tâm H.M1,M2,M3 l n lư t là trung đi m BC,CA,AB.(M1,M1H) ∩ BC={A1,A2 }, (M2,M2H) ∩ AC={B1,B2 }, (M3,M3H) ∩ AB={C1,C2 }. CMRA1,A2,B1,B2,C1,C2 cùng thu c m t đư ng tròn.L i gi i: 8Do M1M2//AB và AB ⊥ HC nên M1M2 ⊥ HCSuy ra HC là tr c đ ng phương c a (M1) và (M2).⇒ CA1.CA2 = CB1.CB2Suy ra A1,A2,B1,B2 thu c đư ng tròn (W1)Tương t A1,A2,C1,C2 thu c đư ng tròn (W2), C1,C2,B1,B2 thu c đư ng tròn (W3)N u 6 đi m A1,A2,B1,B2,C1,C2 không cùng thu c m t đư ng tròn thì các tr c đ ngphương c a 3 đư ng tròn (W1),( W2),( W3) ph i đ ng quy t i m t đi m, nhưng chúng l ic t nhau t i A,B,C nên vô lý.V y ta có đpcm.Ví d 2 (IMO shortlist 2006): AK DLCho hình thang ABCD (AB>CD). K,L là hai đi m trên AB,CD sao cho = . Gi BK CLs P,Q n m trên đo n th ng KL sao cho ∠ APB= ∠ BCD và ∠ CQD= ∠ ABC. CMR b nđi m P,Q,B,C cùng thu c m t đư ng tròn.L i gi i: 9 AK DLT gi thi t, = suy ra AD,BC,KL đ ng quy t i E. BK CLD ng đư ng tròn (O1) đi qua hai đi m C,D và ti p xúc v i BC, (O2) đi qua hai đi m ABvà ti p xúc v i BC. Khi đó ∠ DQC = ∠ ABC= ∠ DCE nên Q ∈ (O1), tương t P ∈ (O2).G i F là giao đi m th hai c a EQ v i (O1). Ta có: 2EF .EQ = EC (1)M t khác, d dàng có ∠ O1CD= ∠ O2BA do đ ...