Phương trình vi phân ngẫu nhiên - Tích phân ngẫu nhiên: Phần 2

Tiếp nối phần 1, mời các bạn cùng tham khảo tiếp phần 2 Tài liệu Tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên của tác giả Trần Hùng Thao sau đây. Phần này gồm nội dung chương 6,7 và phần phụ lục. Mời bạn đọc tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Phương trình vi phân ngẫu nhiên - Tích phân ngẫu nhiên: Phần 2 97 Chưong 6 LÝ T H U Y Ế T KHUẾCH T Á N§ỉ. Quá trình khuếch tán Các quá trình khuếch tán thực chất là các mô hình toán học cùa cácchuyên động của các hạt riêng biệt trong quá trình náy sinh ra một số chấttừchất khác và các phân từ cùa chúng chuyển ổộng hỗn loạn. Các quá trình khuếch tán cũng mô tá các hiện tương sinh hoe như sưbiến đối theo thời gian cùa số các t ế bào trong một c a thế sinh vật, hoặcsự tập trung cùa các gien trong một quần t h e . Lý thuy ết các quá trình khuếch tán gẫn bó tự nhiên với Lý thuy ết Phưcrng trình đạo hàm riêng- Thực ra, theo quan diêm t ấ t định. một quátrinh khuếch tán là lời giai cùa bài toán Cauchy cho một loại phương trìnhđạo hàm riêng parabolic. Theo quan đ i ế m ngẫu nhiên, thì quá trình khuếch tán thực chất là mộtho các quá trình ngẫu nhiên và là các quá trình Markov. Các quá trình nàythoa mãn mót phương trình vi phân ngẫu nhiên mà ta cũng gọi là phươngtrình khuếch tán. T ấ t nhiên có m ộ t sự tương quan một một giữa phương trình khuếchtán t ấ t định và phưcrng trình khuếch tán ngẫu nhiên.1 . 1 . Đinh nghía Mót họ các quá trình Markov (Xi, P ) x trên không gian {R, Bu* ) ăuoc ngọi là quá trình khuếch tán trên R , nếu: à/ Toán tù sinh cúc vi Ả cùa quá trình Markov X xác đinh trên mọihàm hữu han khá vi liên tục hai lần, và tồn tại hàm vectơ liên túc b(x) và Jma trận vector liên tục ( a ( x ) ) đối xúng và xác đinh không âm vói mọi ỉsao cho 2 V/ e c : Af( ) X = Lf{x) = ị Ệ a H x ) ^ + !>•!? i,j = l 1 =1 b/ Toàn bộ quĩ đạo cùa các Xị đều là liên tục 1m1.2. Chú ý a / T ừ ă i n h nghía t r ẽ n ta co t h i nó! r a n g quá t r ì n h k h u ế c h t á n là m ó tho các qu á t r i n h M a r k o v sao cho toan t i . sin.) c u e vi A cu a ne t r ù n g vóitoán tu vi phán cấp hai ỉ. b/ N h ấ c lai toán t ú sinh cưc Ì i n f i n i t e s i m a l g e n e r a t o r ! cưa m ô : c u itrình Markov- M o t qua t r i n h M a r k o v A tương ứng v ó i m ó t b á n n h ó m ( ; ; j xác Sinht r ê n các h à m t h u ố c lớp c bới (PtỊ){x) — Ị Píx.dy)Ị(y) với Pịx.A) là x á c s u i t chuyên.K h i Sò t o á n t ư sinh cưc vi t ư ơ n g ứng Á CƯƠC x á c S i n h bai p. _ Ị 1 A = Jim — . h ì:t r o n g a o / lả t o á n t ư sòng n h ấ t . c/ Ta c ũ n g có thè c n ứ n g m i n h r ằ n g . m ộ t quá t r ì n h k h u ế c h t á n A trênF la m ó t qu á t r ì n h v ớ i q u ĩ đ a o liên t ụ c À = Ị A *, A V i sao cho v ó im o i / > 0 và /ỉ > 0 t h ì . rị.Y,* ,, - + A;|A,: s < /] = 6 ( A ) / : I -o(/í| J và E { [ A ; , A - Ai - 6(A,)/)]ỊA/ X i - Aị - í Ả,)/)]} = « ( . V i l - + o(/iívói nh n g h ấ n è ( Ì < ; < n i nào 3 0 t r ê n í? mà ta gói là hê số dịchchuyên và n h n g h à m (;- ( Ì < i,j < lì) nào đ ó t r ê n R mà tứ gói là các/lê s ố khuếch tán. Cũng có t h ê c h ứ n g m i n h rằng quá t r ì n h W i e n e r t i ê u c h u â n í ó m ó t quát r ì n h k h u ế c h t á n v ớ i hê số dịch chuyên ì. = 0 và hê sô k h u ế c h tan 0 = 1 . d/ Nếu dịch c h u y ê n b và khuécn t á n 0 l ì n h n g h à m t r c r . s ẻ n m ó t cáp nao Say thì h à m m á t d ó chuyên Ịi (>Ịi) t f hoác v i ế t g ò n là ;••!„•.;/)) cua quá t r i n h k h u ế c h t á n A sẽ thoa mãn hai p h ư o n g t r ì n h d a o hàn-! riêng sau Sây: (1) -^-/((J.I/) = . //ì vó. Ị/ cô Sính và 99 d_(2) Pt(x.y) - ...