Sách hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1: Phần 2

Sách hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1: Phần 2 cung cấp cho người học các kiến thức: Phép tính tích phân, lý thuyết chuỗi, tính tích phân, bài tập thực hành,... Hi vọng đây sẽ là một tài liệu hữu ích dành cho các bạn sinh viên đang theo học môn dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu. Mời các bạn cùng tham khảo chi tiết nội dung tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Sách hướng dẫn học tập Toán cao cấp A1: Phần 2Chương 4: Phép tính tích phân3.4.5. CHƯƠNG IV: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN4.1 MỤC ĐÍCHPhép tính tích phân là phép tính cơ bản thứ hai của toán cao cấp. Đây làphép tính ngược của phép tính vi phân. Chính vì thế để tính tích phân nhanhchóng, chính xác cần thông thạo phép tính đạo hàm của hàm số.Trong mục thứ nhất của chương này cần nắm vững định nghĩa tích phânxác định. Bản chất của nó là phép tính giới hạn của một dãy số được tạo ra theomột nguyên tắc nhất định (lập tổng tích phân) từ hàm số f(x) xác định trên đoạn[a,b]. Sau khi hiểu được lớp các hàm khả tích sẽ thấy rõ khái niệm tích phân xácđịnh học ở phổ thông trung học chỉ là một trường hợp riêng của khái niệm tíchphân xác định được trình bày ở mục này. Cụ thể là công thức Newton-Leibnitzchỉ được áp dụng khi hàm dưới dấu tích phân liên tục trên đoạn [a,b]. Ngườihọc phải nắm được điều kiện cần của hàm khả tích để sau này phân biệt với tíchphân suy rộng. Bên cạnh đó phải biết vận dụng các tính chất của tích phân xácđịnh bởi vì nhờ có tính chất này và các tích phân cơ bản mà ta có thể tính đượccác tích phân phức tạp hơn. Cần hiểu được nguyên hàm của hàm số là gì vàphân biệt tích phân xác định với tích phân bất định.Trong mục thứ hai cần nắm vững hai phương pháp cơ bản để tính tích phânxác định: Phương pháp tích phân từng phần và phương pháp đổi biến số. Cầnhiểu rằng phần lớn các tích phân chỉ được tính bằng một phương pháp duy nhất.Do đó trước hết phải phân loại sau đó mới đi vào tính toán. Nắm chắc các điềukiện đối với hàm số khi thực hiện phép đổi biến số. Lưu ý rằng khi thực hiệnphép đổi biến số thì cận của tích phân cũng biến đổi theo.Mục thứ ba trình bày phương pháp tính tích phân bất định. Ngoài haiphương pháp cơ bản cần phải thuộc cách đổi biến thích hợp cho từng trườnghợp: hàm hữu tỉ, hàm hữu tỉ lượng giác, hàm vô tỉ,....Mục thứ tư gồm các ứng dụng mang tính chất hình học của tích phân xácđịnh: diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, độ dài cung. Phải chú ý đến tínhchất biên của các hình rồi mới áp dụng các công thức tính thích hợp: trong hệtọa độ đề các, tọa độ cực. Sau này còn được biết nhiều ứng dụng rộng rãi củatích phân xác định.81Chương 4: Phép tính tích phânTrong mục thứ năm người học phải hiểu rõ tích phân suy rộng, ý nghĩahình học của nó. Phân biệt sự khác nhau giữa tích phân suy rộng và tích phânxác định. Nắm vững khái niệm hội tụ, phân kỳ của tích phân suy rộng. Khi sửdụng tiêu chuẩn hội tụ của lớp hàm giữ nguyên dấu cần phải dùng đến phép sosánh các vô cùng bé, vô cùng lớn. Cần nắm vững khái niệm hội tụ tuyệt đối,bán hội tụ của tích phân suy rộng, bởi vì các nội dung trên sẽ gặp ở trongchương tiếp theo. Cũng cần nhớ rằng rất nhiều vấn đề kỹ thuật gắn liền với việctính các tích phân suy rộng.4.2 TÓM TẮT NỘI DUNG4.2.1 Khái niệm về tích phân xác địnha. Định nghĩa tích phân xác địnhCho f : [a, b] → R , a < b1. Ta gọi một họ hữu hạn các điểm( xi ) , i = 0, nsao choa = x0 < x1 < ... < xn −1 < xn = blà một phân hoạch (hay một cách chia) đoạn [a, b] và gọi λ = 0MaxΔxi ,≤ i ≤ n −1trong đóhoạch làΔxi = xi +1 − xi , i = 0, n − 1 là bước của phân hoạch đã chọn. Tập phân(℘n )2. Ta gọi một cách chọn ứng với phân hoạch là một cách lấy n điểm ξi ,sao cho ξi ∈ [xi , xi +1 ] , i = 0, n − 13. Ta gọi số thực σn −1= ∑ f (ξ i )Δxi làtổng Riơman (Riemann) của hàmi =0ứng với một phân hoạch và một cách chọn.Rõ ràng vớivô hạn tổng Riemann σKí hiệu là (σ n ) .ff ∈ R [a , b ]sẽ có dãy4. Nếu λ → 0 mà σ n → I hữu hạn ( không phụ thuộc vào cách chia đoạn[a,b] và cách chọn các điểm ξ i ứng với cách chia đó ) thìxác định củaftrên [a, b] , Kí hiệu làNhư vậy∫ f ( x)dx , khi đó nói rằngb∫a82gọi là tích phânba[a, b]In −1f ( x)dx = lim ∑ f (ξ i )Δxiλ →0i =0fkhả tích trênChương 4: Phép tính tích phânb . Điều kiện tồn tại9 Điều kiện cầnĐịnh lí: Nếufkhả tích trên [a,b] thìfbị chặn trên [a,b]9 Các tổng Đácbu (Darboux)Cho f : [a, b] → R và phân hoạchĐặt( xi ) xácđịnh(i = 0, n)mi = Inf f , M i = Sup f , i = 0, n − 1 .Ta gọi[xi , xi +1 ][ xi , xi + 1 ]n −1n −1i =0i =0s = ∑ mi Δxi , S = ∑ M i Δxilà các tổng Darboux dưới và trên, hay tổngtích phân dưới và tổng tích phân trên củaVì rằngfmi ≤ f (ξ i ) ≤ M i , ∀ξ i ∈ [xi , xi +1 ]ứng với một phân hoạch xác định.nên s ≤ σ ≤ S .Một phân hoạch đã định thì s, S là hằng số, tổng Riemann phụ thuộc vàoξi ∈ [xi , xi +1 ] i = 0, n − 1 . Chứng tỏ các tổng Darboux là cận dưới đúng và cậntrên đúng của σHệ quả 1: Nếu thêm vào điểm chia mới thì s tăng và S giảm.Hệ quả 2: Mọi tổng Darboux dưới không vượt quá một tổng Darbouxtrên.9 Điều kiện cần và đủ để hàm khả tíchĐịnh lí: Để cho hàm f khả tích trên [a,b] điều kiện cần và đủ làlim ( S − s ) = 0λ →0c. Lớp các hàm khả tích.9 Định lí 1: Nếu9 Định lí 2: Nếuđó.f (x ) liêntục trên [a,b] thì khả tích trên đoạn đóf ( ...