SGK - Đại số và Hình học giải tích: Phần 2

Phần 2 Tài liệu Đại số và Hình học giải tích gồm nội dung chương 5 và chương 6, trình bày ánh xạ tuyến tính và dạng toàn phương; hình học giải tích. Tham khảo nội dung Tài liệu để nắm bắt nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
SGK - Đại số và Hình học giải tích: Phần 2 Chương V ÁNH XẠ TUYÊN TÍNH VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG 5.1. Đ Ị N H N G H Ĩ A Á N H X Ạ T U Y Ê N TÍNH5.1.1. Đ ị n h nghĩa Giả sử V, V là các K-không gian véc tơ, á n h xạ í: V --> Vđược gọi là á n h xạ t u y ê n tính (hay K-đồng càu) của k h ô n g gianvéctơ V vào k h ô n g gian véctơ V nêu các điêu k i ệ n sau đây đượcthoa m ã n đối với mọi véctơ X, y thuộc V và mọi sô a e K a) f(x + y) = f(x) + f(y) (5.1.1) b) f(a X ) = af(x). T ừ điều kiện b) ta có f(9) = f (00) = 0f(6) = 0. Vậy các á n h xạ t u y ê n t í n h chuyển véctơ không t h à n h véctđkhông. K ế t hợp các điêu k i ệ n a) và b) ta có f(ax + py) = af(x) + pf(y), V X, y 6 V. a, p e K. M ộ t cách tông q u á t bằng quy nạp ta có í m A m f Va.x, = Ia,f(x,); (5.1.2). V1=1 ; 1=1 Đôi với mọi Xi € V. (X, e K. i = Ì m. Nêu á n h xa t u y ê n Lính f là một dơn á n h thì gói là đơn câu.í 74 N ê u á n h x ạ t u y ê n t í n h f là m ộ t t o à n á n h t h ì g ọ i là toàn câu. M ộ t á n h x ạ t u y ê n t í n h v ừ a là đ ơ n c ấ u v ừ a l à t o à n c â u t h ì g ọ ilà đăng cảu. K h i có m ộ t đ a n g c ấ u f: V - > V t h i ta n ó i h a i k h ô n g g i a n v é c t ơV v à V d a n g c ấ u với n h a u v à k í h i ệ u : V = V H ộ t h ứ c (5.12) c h ứ n g t ỏ á n h xạ tuyến tính chuyểnmột hệvéctd p h ụ thuộc t u y ê n t i n h t h à n h h ệ véctơ p h ụ thuộc t u y ê n tính. Mênh đê 5.1.1. T í c h c á c á n h x ạ t u y ê n t í n h l à m ộ t á n h xạ t u y ê n t í n h . Chứng minh ( l i a s ử V , E v à F là c á c K - k h ô n g g i a n véc tở, f: V - » E, g: E•-> F là c á c á n h x ạ t u y ế n t í n h . T a sẽ c h ứ n g t ỏ r ằ n g á n h x ạ tíchg„f: V -> F l à m ộ t á n h x ạ t u y ế n t í n h . T h e o đ ị n h n g h ĩ a á n h x ạ t í c hthì g „ f ( x ) = g ( f ( x ) ) , v ớ i m ọ i X E V . Do đ ó đ ố i v ớ i m ọ i X, y e V. m ọ i a6 K ta có g„f(x+y) = g(f(x+y)) = g ( f ( x ) + f ( y ) ) . = g(f(x))+g(f(y)) = g,,f(x)+g f(y). 0 g o f(ax) = g(f(ax)) = g(af(x)) = ccg(f(x)). = a g„f(x). V ỉ y c á c đ i ề u k i ệ n (5.1.1) được t h ỏ a m ã n , g f l à m ộ t á n h H xạtuyên tính. • Vì t í c h c á c song á n h là m ộ t song á n h , do đ ó t í c h c á c dẳngc ấ u là m ộ t đ ẳ n g c ấ u . V ỉ y ta có: n ế u V = v v à V = V t h ì V = V . Định lý sau đ â y chỉ ra rằng một á n h xạ t u y ê n tính hoànt o à n xác đ ị n h n ế u b i ế t g i á t r ị c ủ a n ó t ạ i c á c v é c t ơ t h u ộ c m ộ t cơsớ. 175 Đỉnh lý 5.1.2. G i ả sử V, V là c á c K - k h ô n g g i a n v é c tơ, h ệ (U|, ....Un! làm ộ t cơ sờ c ủ a k h ô n g g i a n V và h ệ Ị V ị v„! là n v é c Ki h ấ t kỳcủa k h ô n g gian V . K h i dó t ồ n t ạ i duy n h ấ t m ộ t á n h x ạ tuyênÌ i n h ỉ : V -> V sao c h o f(Uj) = V,, i = Ì lì. Chứng minh Ta x é t á n h x ạ f: V —> V; x á c đ ị n h nhu s á u : Vì m ỗ i v é c t d X 6V có b i ế u d i ễ n t u y ê n t í n h d u y n h ấ t X = a , U | + + a n u n , t a đ ặ t f(x) = a , v , + ... + a n v n . (5.1.2) A n h xạ f l à m ộ t á n h x ạ t u y ê n t í n h . T h ự c v ậ y g i ả sử X . V e V,a e K. K h i d ó các véctơ X, y c ó các biêu d i ễ n d u y n h ấ t n n n = X = £ u j u ị . y = Z P j U j • Ta có a x S( a a ...