Tài liệu ôn tập: Dao động điều hòa

Dao động điều hòa của một con lắc lò xo thẳng đứng không tắt dần. Dao động điều hòa là một dạng dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi những hàm số tuần hoàn của thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin [1].
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn tập: Dao động điều hòa Dao động điều hòaDao động điều hòa của một con lắc lò xo thẳng đứng không tắt dần.Dao động điều hòa là một dạng dao động mà chuyển động của có thể mô tả bởi nhữnghàm số tuần hoàn của thời gian, mà cụ thể ở đây thường là hàm sin và cosin [1].Những khái niệm cơ bảnPhương trình chuyển độngLy độ (hay tọa độ) trong dao động điều hòa được mô tả bởi hàm số sin hoặc cosin củathời gian, cho bởi: x = Asin(ωt + ψ)Các đại lượng tương ứng trong phương trình: A: biên độ là ly độ cực đại, ω: tần số góc ψ: pha ban đầuTần số, chu kỳ, phaChu kỳ dao động được xác định tỉ lệ nghịch với tần số góc:Tần số của dao động tỉ lệ nghịch với chu kỳ và tỉ lệ thuận với tần số góc:Pha của dao động là một hàm số của thời gian, mang thứ nguyên của góc: φ = ωt + ψSự sai khác về pha giữa 2 giao động gọi là sự lệch pha. Khi độ lệch pha của 2 giao độnglà 2nπ (n là số nguyên) thì ta có 2 dao động đồng pha. Hai dao động được gọi là ngượcpha nếu độ lệch pha là nπ (n là số nguyên lẻ).Vận tốc, gia tốcVận tốc là sự biến thiên của ly độ theo thời gian, do đó nó cũng là một hàm tuần hoàntheo thời gian: v = x = Aωcos(ωt + ψ)Và gia tốc cũng là một hàm tuần hoàn của thời gian: a = v = x = − Aω2sin(ωt + ψ)Phương trình mô tả dao độngDao động điều hòa đơn giảnMột dao động điều hòa đơn giản được mô tả một cách đơn giản với tổng hợp lực là mộtlực phục hồi: F = − k.xVới k là một hệ số dương. Và ly độ của vật có thể đơn giản rút ra từ định luật II Newton: F = m.a = m.xVà ly độ x sẽ là nghiệm của một phương trình vi phân cấp 2 thuần nhất: − k.x = m.xHay:Phương trình này cho nghiệm là một dao động điều hòa cơ bản như đã biết x = Asin(ωt + ψ)Với:Một cách tổng quát, phương trình dao động điều hòa là một phương trình vi phân bậc 2đầy đủ cho bởi:Tùy theo các điều kiện của các tham số trong phương trình này mà có thể đưa đến nhiềukiểu dao động khác nhau như dao động tắt dần, dao động cưỡng bức...Dao động tắt dầnCác chuyển động trong thực tế là không lý tưởng, lực ma sát sẽ xuất hiện cản trở chuyểnđộng khiến cho dao động sẽ bị dập tắt sau một số chu kỳ, và chuyển động này gọi là daođộng tắt dần.Dao động tắt dần có thể được mô tả bởi một hàm sin (hoặc cosin) với biên độ giảm dầntheo thời gian theo hàm số mũ: x = A0e − γtsin(ωt + ψ)Với gamma là hệ số tắt dần.Dao động tắt dần có thể suy ra từ phương trình dao động tổng quát là một phương trình viphân bậc 2 thuần nhất:Giá trị của hệ số ζ xác định tính chất tắt dần của hệ dao động: • Quá ngưỡng tắt dần (ζ > 1): Dao động của hệ bị dập tắt ngay lập tức khi chưa kịp hoàn thành một dao động. • Tắt dần tới hạn (ζ = 1): Dao động của hệ bị dập tắt nhanh nhất khi chưa kịp hoàn thành dao động. • Dưới ngưỡng tắt dần (ζ < 1): Dao động của hệ bị tắt dần sau khi thực hiện một vài dao động, biên độ giảm dần về 0.Tần số suy rộng của dao động dưới ngưỡng tắt dần được cho bởi:Dao động cưỡng bứcDao động cưỡng bức là một dao động động thực hiện dưới tác dụng của một ngoại lực(ngoài hệ dao động). Ví dụ như dao động của con lắc đơn, nếu chỉ xét hệ dao động là conlắc đơn, lực hút của Trái đất là ngoại lực thì dao động của hệ là cưỡng bức. Tuy nhiênnếu coi hệ dao động bao gồm cả Trái đất và con lắc đơn thì lại không phải là dao độngcưỡng bức.Dao động cưỡng bức là nghiệm của phương trình vi phân tổng quát (đầy đủ):Lúc đó, vế phải của phương trình sẽ biểu diễn tác dụng của ngoại lực, vế trái là dao độngriêng của hệ với tần số dao động riêng w0.Các hệ dao động tương đươngMột số bài toán ứng dụngCon lắc đơnDao động của một con lắc đơn dưới điều kiện không có ma sát và góc dao động nhỏ.Giả sử một con lắc đơn có chiều dài l, dao động trong phạm vi góc rất nhỏ, và không masát, phương trình chuyển động góc của nó có thể viết dưới dạng:Lời giải của phương trình sẽ có dạng:Với θ0 là biên độ góc (góc lệch lớn nhất). Chu kỳ dao động của con lắc sẽ được cho bởi:Con lắc lò xo nằm ngangDao động con lắc lò xo nằm ngang ở 3 vị trí: (A) vị trí cân bằng, (B) bị nén, (C) bị giãn.Đối với hệ con lắc lò xo nằm ngang, lực tạo ra sự dao động là lực đàn hồi của lò xo, theođịnh luật Hooke, nó quan hệ với độ biến dạng của lò xo (trong trường hợp này trùng vớitọa độ con lắc) theo công thức:với F là lực đàn hồi, k là hệ số đàn hồi của lò xo, x là ly độ của con lắc.Áp dụng định luật II Newton cho chuyển động ngang của con lắc dưới tác dụng của lựcđàn hồi, ta sẽ có phương trình vi phân bậc 2 của quá trình dao động:Và lời giải của phương trình có dạng:với A là biên độ dao động, và lúc này chu kỳ dao động sẽ được cho bởi:Chú ý rằng, trong chuyển động của con lắc lò xo nằm ngang, bài toán có thể giải theocách tìm các dạng năng lượng gồm động năng và thế năng. Động năng của con l ...