Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản

Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 - Môn: Giải tích cơ bản - Lý thuyết chuỗi
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tài liệu ôn thi cao học 2005 - Môn: Giải tích cơ bản GI I TÍCH (CƠ B N) Tài li u ôn thi cao h c năm 2005 Phiên b n đã ch nh s a PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 10 tháng 11 năm 2004 LÝ THUY T CHU I1 Chu i s1.1 Đ nh nghĩa ∞Đ nh nghĩa 1. Cho (an )n là dãy s (có th th c hay ph c), chu i tương ng ký hi u là an . 1 k V i m i k ∈ N, đ t sk = an là t ng riêng ph n th k . Khi k thay đ i trên N, có dãy 1t ng riêng ph n (sk )k . ∞ N u lim sk t n t i h u h n, ta nói chu i an h i t và đ t S = lim sk là t ng c a chu i, k→∞ k→∞ 1 ∞S= an . 1 ∞ N u lim sk không t n t i ho c lim sk = +∞ hay lim sk = −∞, ta nói chu i an phân k→∞ k→∞ k→∞ 1kỳ. Tính ch t 1. Tính h i t và t ng c a chu i không thay đ i n u thay đ i th t c a m t s h u h n s h ng. ∞ an và an cùng h i t ho c cùng phân kỳ. 2. Chu i n≥n0 1 ∞ an h i t thì lim an = 0. 3. Đi u ki n c n: n u chu i k→∞ 1 11.2 Chu i không âm ∞ an , an ≥ 0. Là chu i có d ng 1 Tính ∞ t ch an , an ≥ 0. Khi đó dãy t ng riêng ph n (sk )k là dãy tăng và n u (sk )k b ch n thì Cho 1 ∞ an h i t .chu i 1 D u hi u so sánh ∞ ∞ ∞ 1. Gi s 0 ≤ an ≤ bn , ∀n ≥ n0 . Khi đó, n u bn h i t thì an h i t , n u an phân 1 1 1 ∞ bn phân kỳ. kỳ thì 1 an lim = k . Khi đó: 2. Gi s bn n→∞ ∞ ∞ (a) N u 0 < k < ∞ thì an , bn cùng h i t ho c cùng phân kỳ. 1 1 ∞ ∞ ∞ ∞ (b) N u k = 0 và bn h i t thì an h i t , n u an phân kỳ thì bn phân kỳ. 1 1 1 1 ∞ ∞ ∞ ∞ (c) N u k = ∞ và an h i t thì bn h i t , n u bn phân kỳ thì an phân kỳ. 1 1 1 1 Tiêu chu n tích phân Cho f : [1, +∞) → R liên t c, f (x) ≥ 0 và f gi m. V i m i n ∈ N, đ t an = f (n). Khi đó: ∞ ∞ f (x)dx h i t ⇔ Chu i an h i t . Tích phân suy r ng 1 1 Chu i cơ b n: ∞ 1 • h i t khi s > 1, phân kỳ khi s ≤ 1. ns 1 ∞ ...