Toán cao cấp 2- Bài 1 Tập Hợp & Ánh Xạ

Nắm được các phép toán về tập hợp và quan hệ giữa các tập hợp. Hiểu về quan hệ hai ngôi và các quan hệ cơ bản là quan hệ tương đương và quan hệ thứ tự. Nắm được khái niệm về ánh xạ. Phân biệt rõ các ánh xạ: đơn ánh, song ánh, toàn ánh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp 2- Bài 1 Tập Hợp & Ánh Xạ Bài 1: Tập hợp − Ánh xạ Bài 1: TẬP HỢP − ÁNH XẠMục tiêu Nội dung• Nắm được các phép toán về tập hợp và Tập hợp, quan hệ và ánh xạ là các công cụ cơ quan hệ giữa các tập hợp. bản để xây dựng nên các đối tượng của toán• Hiểu về quan hệ hai ngôi và các quan hệ học nói chung và của đại số tuyến tính cơ bản là quan hệ tương đương và quan nói riêng. Bài 1 gồm các nội dung: hệ thứ tự. • Tập hợp và các phép toán về tập hợp• Nắm được khái niệm về ánh xạ. Phân • Quan hệ biệt rõ các ánh xạ: đơn ánh, song ánh, • Ánh xạ toàn ánh.• Hiểu về là ánh xạ ngược, thu hẹp và mở rộng một ánh xạ.• Nắm được khái niệm về lực lượng của tập hợp.• Giải được các bài toán về tập hợp, quan hệ, ánh xạ theo cách tự luận và theo trắc nghiệm.Thời lượng Bạn đọc nên để 10 giờ để nghiên cứu luyện tập + 6 giờ làm bài tập. 1 Bài 1: Tập hợp − ánh xạBài toán mở đầu: Mối quan hệ giữa một tập hợp người và tập hợp tháng sinhXét mối quan hệ giữa tập hợp người P và tập tháng sinh M. Đối với mỗi người p ∈ P có mộtphần tử duy nhất m ∈ M vì mỗi người sinh ở một tháng nhất định. Ta có thể diễn tả mối quan hệđó bằng ánh xạ f: P → M , trong đó mỗi phần tử p ∈ P gọi là một phần tử gốc (đối), còn mỗiphần tử m tương ứng với p gọi là ảnh của p, ta viết f(p) = m.1.1. Tập hợp và các phép toán về tập hợp1.1.1. Khái niệm về tập hợp Tập hợp được coi là một khái niệm ban đầu của toán học (không định nghĩa). Người ta hiểu tập hợp là một sự tụ tập các đối tượng có tính chất chung nào đó. Các đối tượng đó gọi là các phần tử của tập hợp đang xét. Việc phần tử thuộc tập hợp là một tương quan cơ bản.1.1.2. Mô tả tập hợp Để mô tả một tập hợp người ta thường dùng hai phương pháp sau: Phương pháp 1. Liệt kê các phần tử của tập hợp đó Các ví dụ: (1) Tập hợp các số tự nhiên = {0,1, 2, 3,..., n,...} ; * = {1, 2, 3,..., n,...} (2) Tập hợp các số nguyên = {..., − n,..., −2, −1, 0,1, 2,..., n,...} (3) Tập hợp các số hữu tỷ ⎧p ⎫ = ⎨ p, q là các số nguyên; q ≠ 0 ⎬ ⎩q ⎭ Các số hữu tỷ có thể viết thành các số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn. 3 4 Chẳng hạn, = 0, 75; − = − 1,333... = −1, ( 3) 4 3 (4) Một số vô tỷ là một số có thể viết dưới dạng số thập phân vô hạn không tuần hoàn. 2 = 1.414213563..., π = 3.14159... Chẳng hạn (5) Tập hợp tất cả các số hữu tỷ và vô tỷ gọi là tập số thực, ký hiệu là . Phương pháp 2. Chỉ ra những tính chất mà mọi phần tử của tập hợp đó đều có. Ví dụ như tập hợp A gồm những phần tử x có tích chất p(x), ta viết A = { x | p(x)}. Ví dụ: Tập hợp các số chẵn A = { m | m = 2n, n nguyên } Để diễn tả tập hợp bằng hình ảnh một cách khái quát, người ta dùng Biểu đồ Ven (h.1.1) biểu diễn một tập hợp. Đó là một đường cong kín, phẳng và không tự cắt, phần bên trong Hình 1. 1 đường cong chứa tất cả các phần tử của tập hợp.2 Bài 1: Tập hợp − ánh xạ Để chỉ x là một phần tử của tập A, ta viết x ∈ A . Nếu y không thuộc A , ta viết y ∉ A. Tập hợp không chứa phần tử nào gọi là tập rỗng, ký hiệu ∅ . Ví dụ, tập các nghiệm thực của phương trình x 2 = −1 là tập rỗng.1.1.3. Một số khái niệm cơ bản Mệnh đề toán học: Là một khẳng định toán học chỉ có thể đúng hoặc sai (không thể vừa đúng, vừa sai), ký hiệu bởi các chữ in A, B, C,... A : 20 > 12 là mệnh đề đúng. Ví dụ : B : 6 = 7 là mệnh đề sai. Mệnh đề kéo theo: Nếu từ mệnh đề A đúng suy ra mệnh đề B cũng đúng thì ta viết: A ⇒ B (đọc là A kéo theo B ). a < b ⇒ (a + c) < (b + c) Ví dụ: Mệnh đề tương đương: Nếu A ⇒ B và B ⇒ A thì ta viết A ⇔ B (đọc là A tương đương B, hay là A khi và chỉ khi B, hay A là điều kiện cần và đủ ...