Toán cao cấp 2- Bài 5: Không gian véc tơ

Nắm được khái niệm về không gian véctơ. Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh. Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều. Giải được các bài toán về không gian véctơ.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán cao cấp 2- Bài 5: Không gian véc tơ Bài 5: Không gian véc tơ Bài 5 : KHÔNG GIAN VÉCTƠMục tiêu Nội dung• Nắm được khái niệm về không gian véctơ; Không gian véc tơ là một khái niệm được• Nắm được khái niệm về không gian con xây dựng trên một tập khác rỗng và một và hệ sinh; trường. Cấu trúc không gian véctơ là một• Nắm được khái niệm về không gian hữu cấu trúc rất cơ bản của toán học và là nền hạn chiều; tảng cho nhiều lý thuyết khác nhau• Giải được các bài toán về không gian véctơ. • Cấu trúc của không gian véc tơ • Không gian con và hệ sinh • Không gian hữu hạn chiềuThời lượngBạn đọc nên để 10 giờ để nghiên cứuLT + 6 giờ làm bài tập. 65 Bài 5: Không gian véc tơBài toán mở đầu: Không gian trạng thái của nền kinh tế quốc dânKý hiệu K(t) là vốn, Y(t) là tổng sản phẩm, L(t) là lao động, I(t) là vốn đầu tư thêm, s(t) là tỷtrọng tích lũy ở năm t đều là các véc tơ có nhiều thành phần. Ta có các hệ thức sau :Hàm sản xuất Y(t) = F[L(t), K(t)] K(t + 1) – K(t) = I(t) – μ K(t), μ là hệ số hao mòn vốn 0 < μ < 1 I(t) = s(t) Y(t).Từ các hệ thức trên suy ra : K(t + 1) = K(t) + s(t) F[L(t), K(t)] – μ K(t).Coi K(t) là trạng thái, s(t) là biến điều khiển. Phương trình trên gọi là phương trình trạng thái.Biết K(0) là trạng thái ở thời điểm ban đầu và luật tác động s(t), L(t) ta sẽ suy được K(t) tại mọithời điểm, tức là biết quỹ đạo của nền kinh tế trong không gian trạng thái.5.1. Định nghĩa không gian véc tơ5.1.1. Định nghĩa và tính chất Định nghĩa 5.1: Xét tập V khác rỗng, trong đó mỗi phần tử ta quy ước gọi là một véc tơ và trường số thực . Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số thực , nếu tập V được trang bị hai phép toán: phép cộng hai véc tơ và phép nhân véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn: • (V,+) là một nhóm Abel • α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ , x, y ∈ V • (α + β)x = αx + βx, ∀α ∈ , x ∈ V • α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ , x ∈ V • 1x = x, ∀x ∈ V Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A,+) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối của phần tử x trong nhóm Abel (V,+) gọi là véc tơ đối của véc tơ x, ký hiệu là –x. Ta có : x+θ=x x + (–x) = θ, ∀x ∈ V Các tính chất : • θx = θ, ∀ x ∈ V • αθ = θ, ∀α ∈ V • αx = θ ⇔ (α = 0) ∨ (x = 0) • α(–x) = –(αx), ∀α ∈ , x ∈ V5.1.2. Ví dụ n Xét là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự x = (x1, x2,..., xn) còn gọi là một véc tơ n thành phần. Xét x = (x1, x2,..., xn) và y = (y1, y2,…, yn)66 Bài 5: Không gian véc tơPhép cộng véc tơ và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau: x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn) (5.1) αx = (αx1, αx2,…, αxn), ∀α ∈ . (5.2)Ngoài ra, x = y ⇔ xi = yi ∀i. n là một không gian véc tơ.Chú ý: 2– Mỗi cặp số (a1; a2) ∈ có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểmM trong mặt phẳng tọa độ, trong đó a1 là hoành độ, còn a2 là tung độ. Mặt khác, cũngcó thể biểu diễn nó như là một véc tơ mà a1 là thành phần thứ nhất và a2 là thành phầnthứ hai. Ta viết a(a1 ; a 2 ) . x2 x2 M a2 a2 (a1, a2) a a1 x1 O a1 x1 O Hình 5.1 Hình 5.2 3– Mỗi bộ ba số (a1; a2; a3) ∈ có thể biểu diễn bằng một điểm M(a1; a2; a3) với a1 làhoành độ, a2 là tung độ và a3 là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ a vớiba thành phần x3 x3 a3 (a1; a2; a3) M a a2 O O x2 x2 a1 x1 x1 Hình 5.4 Hình 5.3 n– Mỗi bộ n số (a1; a2;...; an) ∈ có thể xem l ...