Toán chuyên ngành: Phần 2

(NB) Nối tiếp phần 1 Tài liệu Hướng dẫn học tập Toán chuyên ngành (dùng cho sinh viên ngành ĐT-VT hệ đào tạo đại học từ xa) mời các bạn cùng tìm hiểu phần 2 để nắm bắt một số thông tin cơ bản về phương trình đạo hàm riêng; quá trình dừng; quá trình poisson; lý thuyết sắp hàng. Cùng tìm hiểu để nắm bắt nội dung thông tin Tài liệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Toán chuyên ngành: Phần 2 Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNGGIỚI THIỆU Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số một biến độc lập, các đạo hàm củachúng và biến độc lập. Lý thuyết phương trình vi phân đã được khảo sát trong chương trình toángiải tích II. Phương trình đạo hàm riêng là phương trình chứa hàm số nhiều biến số, các đạo hàm riêngcủa chúng và các biến độc lập. Phương trình sóng điện từ Maxuell nói riêng và phương trìnhtruyền sóng nói chung là những phương trình đạo hàm riêng thường được sử dụng để mô tả cáchiện tượng vật lý áp dụng trong điện tử viễn thông. Trong chương này ta khảo sát các khái niệm cơ bản của phương trình đạo hàm riêng: ƒ Nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, điều kiện biên, điều kiện đầu. Một vài phương pháp tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng. ƒ Tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 1, các phương trình tuyến tính cấp cao hệ số hằng dạng chính tắc. ƒ Giải bài toán Dirichlet đối với phương trình Laplace. ƒ Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng: Công thức Kirchoff, Poisson, D’Alembert. ƒ Giải bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt. Để học tốt chương này học viên nên xem lại các kiến thức giải tích II: Hàm nhiều biến, đạohàm riêng, tích phân mặt. Các định lý Green, Stock, Odstrograsky.NỘI DUNG4.1. BÀI TOÁN DẪN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ CÁC ĐỊNHNGHĨA4.1.1. Phương trình dao động của sợi dây Trong mặt phẳng Oxu xét sợi dây AB ở vị trí cân bằng, nó song song với trục Ox . Chúngta nghiên cứu dao động ngang của sợi dây tức là trong quá trình chuyển động các chất điểm củanó luôn luôn dịch chuyển thẳng góc với trục Ox (xem hình 4.1). u u M1 α(x) M2 A B α( x + dx) O a b x O x x + dx x 121 Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Giả sử sợi dây AB rất mảnh chịu uốn và có sức căng T tương đối lớn so với trọng lượng củanó. Vì vậy trong quá trình xem xét có thể bỏ qua trọng lượng của sợi dây. Gọi u ( x, t ) là độ lệch của dây so với vị trí cân bằng của điểm vật chất M (x ) trên dây tại 2 ∂u ⎛ ∂u ⎞thời điểm t . Coi rằng dao động là nhỏ nên Chương 4: Phương trình đạo hàm riêng Các phương trình từ (4.1 ) đến (4.3) là các phương trình đạo hàm riêng mà các hàm phải tìmlần lượt là hàm của hai, ba và bốn biến. b. Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng có mặt trongphương trình đó. Vậy một phương trình đạo hàm riêng cấp m có dạng tổng quát sau đây: ⎛ ∂u ∂u ∂ 2u ∂ 2u ∂ mu ∂ mu ⎞ F ⎜ x1, , xn , u , , , , , , , m , , m ⎟ = 0 (4.4) ⎜ ∂x1 ∂xn ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x1 ∂xn ⎟⎠ ⎝ Trong phương trình trên có mặt ít nhất một đạo hàm riêng cấp m. c. Phương trình (4.4) gọi là tuyến tính nếu F là một hàm tuyến tính đối với hàm số phảitìm u và và các đạo hàm riêng của nó. Phương trình không tuyến tính gọi là phi tuyến, Nếu F làhàm phi tuyến nhưng tuyến tính đối với đạo hàm riêng cấp cao nhất thì gọi đó là phương trình átuyến. ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u Ví dụ 4.1: +2 − sin x 2 y + cos y − 3e xy + ( x − y 5 )u = 0 là phương ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂ytrình tuyến tính cấp 2. 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎛ ∂u ⎞ 2 ∂u +2 − sin x 2 y + cos y⎜ ⎟ − 3e xy + cos u = 0 là phương trình á tuyến. ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ⎝ ∂x ⎠ ∂y d. Hàm số u = u ( x1 , x2 ,..., xn ) gọi là một nghiệm của (4.4) nếu thay nó vào phương trìnhsẽ được một đồng nhất thức đối với các biến x1 , x2 , ..., xn trong một miền xác định nào đó.Chẳng hạn có thể dễ dàng kiểm tra được hàm số u = x 2 + y 2 là một nghiệm của phương trình:∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + − = 0.∂x 2 ∂x∂y ∂y 24.1.3. Điều kiện ban đầu và điều kiện biên N ...