Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman

Nội dung trình bày một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến; cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn. Luận văn đã chứng minh một cách chi tiết các kết quả chính trong bài báo của Song-Ying Li và My-An Tran([16]). Các kết quả bao gồm, chứng minh các ước lượng cận trên và cận dưới cho phổ của toán tử Laplace–Beltrami trên các miền giả lồi đặc biệt. Từ đó đưa ra các áp dụng để đánh giá cận trên của giá trị phổ trên các miền giả lồi với metric K¨ahler-Einstein và metric Bergman.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Khoa học: Infimum của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn với Metric Bergman ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬLAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC HÀ NỘI - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - o0o - - - - - - - - TRẦN THỊ MAI INFIMUM CỦA PHỔ CỦA TOÁN TỬLAPLACE-BELTRAMI TRÊN MIỀN GIẢ LỒI BỊ CHẶN VỚI METRIC BERGMAN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THẠC DŨNG HÀ NỘI - 2015Mục lụcPhần mở đầu 11 Một số kiến thức về giải tích phức nhiều biến 3 1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Miền giả lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler . . . . . . . . 52 Cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami trên miền giả lồi bị chặn 9 2.1 Ước lượng cận dưới của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Ước lượng cận trên của λ1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Giá trị cực đại của λ1 trên một vài miền đặc biệt . . . . . . 19Kết luận 22Tài liệu tham khảo 23 1Phần mở đầu Cho (M n , g) là một đa tạp K¨ahler n chiều với metric K¨ahler n X g= gij dzi ⊗ dz j . i,j=1Giả sử n X ∂2 ij ∆g = −4 g i,j=1 ∂zi ∂z jlà toán h tửit Laplace-Beltrami tương ứng với metric g . Ở đây ta dùng ký −1hiệu g ij = gij . Khi đó, cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami được xác định bởi   n ij ∂f ∂f  Z X  ∞ λ1 (∆g , M ) = inf 4 g dVg : f ∈ C0 (M ), kf kL2 = 1  M i,j=1 ∂zi ∂z j trong đó dVg là dạng thể tích trên M tương ứng với metric K¨ahler g . Bài toán đặt ra là tính giá trị λ1 hoặc cho một đánh giá về λ1 . Tất nhiênviệc đánh giá này là phụ thuộc vào đa tạp M và metric K¨ahler g . Người ta đã chứng minh được rằng khi M là đa tạp compact và ∆g làtoán tử elliptic đều thì λ1 (∆g ) là giá trị riêng dương đầu tiên của ∆g vớiđiều kiện biên Dirichlet. Việc nghiên cứu λ1 có nhiều ứng dụng trong cácbài toán hình học và vật lý... Luận văn này trình bày một cách chi tiết các kết quả chính trong bàibáo của Song-Ying Li và My-An Tran ([16]). Nội dung chính của luận vănlà đưa ra các ví dụ về đa tạp K¨ahler đầy đủ mà đối với chúng giá trị chínhxác của λ1 có thể tính toán được. Nói một cách cụ thể, ta sẽ ước lượngchính xác λ1 (∆u ) trên các miền D là miền giả lồi bị chặn trong Cn với 1 ∂ 2umetric K¨ahler uij dzi ⊗ dz j , trong đó uij = với u là hàm đa điều ∂zi ∂z jhòa dưới chặt, vét cạn miền D. Trong trường hợp tổng quát, khi D là miềngiả lồi bị chặn thì việc tính được chính xác giá trị của λ1 (∆u ) là rất phứctạp. Vì thế, chúng ta cần phải đưa vào những điều kiện phụ khác nhauđối với hàm u vét cạn trên D. Nhờ các điều kiện đó, chúng ta sẽ xấp xỉcận trên và cận dưới của λ1 bằng cách xây dựng các hàm đặc biệt và tiếnhành phân tích trên miền con của D. Luận văn bao gồm hai chương. Trong chương mở đầu, tôi nhắc lại mộtvài kiến thức cơ bản về hàm đa điều hòa dưới, miền giả lồi và toán tửLaplace-Beltrami trên đa tạp K¨ahler. Trong chương hai, tôi xét ước lượngcận dưới và cận trên của cận dưới nhỏ nhất của phổ của toán tử Laplace-Beltrami. Ước lượng cận dưới được xét trong mục 2.1, ước lượng cận trênđược trình bày trong mục 2.2. Đặc biệt, trong mục 2.2 tôi đưa ra một cáchchứng minh khác cho Định lý 2.2. Chứng minh này là mới và đơn giản hơnso với chứng minh trong bài báo gốc. Trong mục 2.3, tôi đưa ra các ướclượng của cận dưới nhỏ nhất của phổ trên các miền giả lồi đặc biệt vớimetric K¨ahler-Einstein và metric Bergman. 2Chương 1Một số kiến thức về giải tích phứcnhiều biến1.1 Hàm đa điều hòa dưới và miền giả lồi1.1.1 Hàm đa điều hòa dướiĐịnh nghĩa 1.1. Giả sử Ω là một miền trong Cn , u : Ω → R là một hàmthuộc lớp C 2 . Khi đó u được gọi là hàm đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n X ∂ 2u (z)ξi ξ j ≥ 0 ∀z ∈ Cn , ξ = (ξ1 , ..., ξn ) ∈ Cn . i,j=1 ∂zi ∂z j ∂ 2u Do uij = = ...