Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace

Chú ý Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng. Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY 2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý Nếu hàm f (z ) giải tích trên miền đơn liên D và liên tục trên biên C ≡ ∂D thì: VD 1. Hàm f (z ) =∫ f (z )dz = 0.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức và Phép biến đổi Laplace Tóm tắt và các ví dụPhần Tích phân phức và Phép biến đổi LaplaceTóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM Chú ý Số chỉ mục và thứ tự ví dụ được giữ nguyên như trong Bài giảng.Chương 3. TÍCH PHÂN HÀM PHỨC §2. ĐỊNH LÝ CAUCHY2.1. Định lý Cauchy cho miền đơn liên a) Định lý ∫ f (z )dz = 0.Nếu hàm f (z ) giải tích trên miền đơn liên D và liên tục trên biên C ≡ ∂D thì: C z zdz ∫VD 1. Hàm f (z ) = giải tích trong D : | z | ≤ 1 và liên tục trên biên ∂D nên = 0. z +4 z +4 2 2 |z | =1 b ) Hệ q u ả ∫ f (z )dz = 0 .• Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đơn liên D và C là đường cong kín nằm trong D thì C ∫ f (z )dz• Nếu hàm f (z ) giải tích trong miền đơn liên D , thì tích phân với mọi đường cong C nằm trong D có C cùng điểm đầu và điểm cuối nhận giá trị như nhau. ∫ 2z dz , trong đó C là cung y = x 3 − 3x 2 nối z = 0 với z = 1 − 2i .VD 2. Tính tích phân I = CGiải. Đoạn thẳng OA nối z = 0 với z = 1 − 2i có phương trình: z (t ) = t − 2it, t : 0 → 1 .Do f (z ) = 2z giải tích trong ℂ nên: 1 1 ∫ 2(t − 2it )(1 − 2i)dt ∫ 2z dz = ∫ 2z dz = = (1 − 2i )2 . t 2 = −3 − 4i . I= 0 0 C OA2.2. Định lý Cauchy cho miền đa liêna) Định lý 1Cho miền D − n liên ( n > 1 ) có biên ∂D gồm C 1,C 2 ,...,C n , trong đó C 1 bao các chu tuyến khác và các chu tuyến C 2 ,...,C n nằm ngoài nhau. Nếu f (z ) giải tích trong D và liên tục trong D = D ∪ ∂D thì: ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz + ... + ∫ f (z )dz. C1 C2 Cnb) Định lý 2 ∫ f (z )dz = 0.Với giả thiết như trong định lý 1, ta có: ∂DHệ quả (tính bất biến khi biến dạng chu tuyến)Nếu chu tuyến C 1 có thể biến dạng liên tục mà không vượt qua bất kỳ điểm kỳ dị nào của f (z ) để trở thành chu ∫ f (z )dz = ∫ f (z )dz. tuyến C 2 thì: C1 C2 dz ∫ (z − a )VD 3. Khảo sát tích phân I n = , trong đó C là đường cong kín không đi qua điểm a và n ∈ ℤ . n C Giải• Trường hợp 1: điểm a nằm ngoài C . 1Tóm tắt và các ví dụ Phần Tích phân phức & Phép biến đổi Laplace Đại học ThS. Đoàn Vương Nguyên – ĐHCN Tp.HCM 1 giải tích trong miền đóng D có biên C nên I n = 0 (định lý 2). Do hàm f (z ) = (z − a )n• Trường hợp 2: điểm a nằm trong C . Ta chọn r đủ bé để đường tròn C r tâm a , bán kính r nằm trong C . P ...