Xung quanh bài toán hình học trong kỳ thi VM0 2014

Nội dung chính của bài viết "Xung quanh bài toán hình học trong kỳ thi VM0 2014" đưa ra một góc nhìn của tác giả về bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 cũng như những khai thác xung quanh cấu hình của bài toán. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Xung quanh bài toán hình học trong kỳ thi VM0 2014XUNG QUANH BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG KỲ THI VMO 2014 Nguyễn Tiến Dũng - Hà Nội Tóm tắt Bài viết đưa ra một góc nhìn của tác giả về bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 cũng như những khai thác xung quanh cấu hình của bài toán.Bài hình học số 4 trong kỳ VMO 2014 có nội dung được đề cập trong [1] như sau:Bài toán 1. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn .O/ với AB < AC . Gọi I là trungđiểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK D IC . Đường thẳngBK cắt .O/ tại D.D ¤ B/ và cắt đường thẳng AI tại E. Đường thẳng DI cắt đường thẳngAC tại F . BC1. Chứng minh rằng EF D . 22. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đường thẳng KM cắt đường thẳngBC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt .O/ tại P .P ¤ B/. Chứng minh rằngđường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD.Có thể thấy rằng hai ý của bài toán hầu như không liên quan tới nhau, ý 2. mới là ý chính của bàitoán. Vì vậy, đề bài được phát biểu gọn lại như sauBài toán 2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn .O/ với AB < AC . Gọi I là trungđiểm cung BC không chứa A. Trên AC lấy điểm K khác C sao cho IK D IC . Đường thẳngBK cắt .O/ tại D.D ¤ B/. Trên DI lấy điểm M sao cho CM song song với AD. Đườngthẳng KM cắt đường thẳng BC tại N . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt .O/ tại P.P ¤ B/. Chứng minh rằng đường thẳng PK đi qua trung điểm của đoạn thẳng AD.Lời giải thứ nhất. Do I là trung điểm cung BC không chứa A của đường tròn .O/ nên IB DIC D IK. Ta thấy ∠AKI D 180ı ∠CKI D 180ı ∠ICK D ∠ABI nên AIB DAIK.g:c:g/. Vì thế K đối xứng với B qua AI . Ta có ∠DCK D ∠ABK D ∠AKB D∠DKC nên dễ thấy DI là trung trực của đoạn CK. Chú ý đến tính đối xứng qua trục DI vàCM k AD ta có ∠MKC D ∠M CK D ∠DAC D ∠KBN nên AC là tiếp tuyến của đườngtròn .BKN /. Gọi E là giao của DI và AC , thế thì ∠EKP D ∠KBP D ∠EIP nên tứ giácEP IK nội tiếp, suy ra ∠IPK D ∠IEK D 90ı . PK cắt .O/ tại F .F ¤ P /. Chú ý rằng K làtrực tâm của tam giác ADI nên ta dễ dàng chứng minh được AFDK là hình bình hành. Do đóKF đi qua trung điểm AD. Từ đó ta có đpcm. 77 Tạp chí Epsilon, Số 06, 12/2015 F A D K O E M B N C P ILời giải thứ hai. Trong lời giải thứ nhất, ta đã chứng minh được AC là tiếp tuyến của đườngtròn .BKN /. Từ đó, chú ý đến tính đối xứng qua AI , ta cũng có AB là tiếp tuyến của đườngtròn .BKN /. Gọi L là giao của AP và đường tròn .BKN /.L ¤ P /. Vì∠KLP D ∠KBP D∠DAP nên KL k AD. PK cắt AD tại S . Bằng biến đổi góc đơn giản, ta thu được các cặptam giác đồng dạng SAK và KPL, SDK và BPL. Chú ý rằng tứ giác BPKL điều hòa ta có SA KP BP SD D D D nên SA D SD. Suy ra đpcm.SK KL BL SK A L D K O M B N C P I 78Tạp chí Epsilon, Số 06, 12/2015Nhận xét.1. Trong lời giải thứ nhất, ta có ∠KPN D ∠KBN D ∠DAC D ∠KIE D ∠KPE nênP; N; E thẳng hàng.2. Việc phát biểu lại làm cho đề toán hay và có ý nghĩa hơn. Trên đây, tác giả đã trình bày hai lờigiải thuần túy hình học cho bài toán. Lời giải thứ nhất là của tác giả. Lời giải thứ hai dựa trên ýtưởng sử dụng các kiến thức về tứ giác điều hòa và chùm điều hòa của thành viên diễn đàn Toánhọc Mathscope.org có nickname vinhhai (trong [3]), được tác giả chỉnh lí lại để có được lời giảithuần túy hình học. Chú ý rằng K là trực tâm của tam giác IAD, ta có thể phát biểu lại bài toán2 như sau:Bài toán 3. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/. Các đường cao hạ từ B và C theo thứtự cắt .O/ tại D và E. Kẻ EF k BC.F 2 AB/. HF cắt DE tại K. Đường tròn .HKD/ cắt.O/ tại P .P ¤ D/. Chứng minh rằng PH chia đôi BC . A E F K P O D H B CTừ nhận xét 1. trong bài toán 2 và bài toán 3, ta có thể đề xuất các bài toán sau:Bài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn .O/, có trực tâm H . Các đường cao BD vàCE theo thứ tự cắt .O/ tại F và G. Kẻ FM k GN k BC.M 2 AC; N 2 AB/. HM và HNtheo thứ tự cắt F G tại K và L. Chứng minh rằng DK và EL cắt nhau tại một điểm thuộc .O/. 79 Tạp chí Epsilon, Số 06, 12/2015 A M F P K L D ...