19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức

Chuẩn bị tốt kiến thức về bất đẳng thức, phương pháp chứng minh Bất đẳng thức với 19 phương pháp chứng minh bất đẳng thức nhằm giúp các bạn học sinh làm tốt các bài tập về chứng minh bất đẳng thức.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức 19 Phương pháp chứng minh Bất đẳng thức PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý A  B  A  B  01/Định nghĩa  A  B  A  B  0 2/Tính chất + A>B  B  A + A>B và B >C  A  C + A>B  A+C >B + C + A>B và C > D  A+C > B + D + A>B và C > 0  A.C > B.C + A>B và C < 0  A.C < B.C + 0 < A < B và 0 < C B > 0  A n > B n n + A > B  A n > B n với n lẻ + A > B  A n > B n với n chẵn + m > n > 0 và A > 1  A m > A n + m > n > 0 và 0 0   A B 3/Một số hằng bất đẳng thức + A 2  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + An  0 với  A ( dấu = xảy ra khi A = 0 ) + A  0 với A (dấu = xảy ra khi A = 0 ) + -A 0) + A  B  A  B ( dấu = xảy ra khi A.B < 0) 1 PHẦN II CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨCPhương pháp 1 : Dùng định nghĩa Kiến thức : Để chứng minh A > B. Ta lập hiệu A –B > 0 Lưu ý dùng hằng bất đẳng thức M 2  0 với MVí dụ 1  x, y, z chứng minh rằng : a) x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx b) x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz c) x 2 + y 2 + z 2 +3  2 (x + y + z) Giải: 1 a) Ta xét hiệu : x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – zx = .2 .( x 2 + y 2 + z 2 - xy – yz – 2zx) 1 = 2   ( x  y ) 2  ( x z ) 2  ( y  z ) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vì (x-y)2  0 vớix ; y Dấu bằng xảy ra khi x=y (x-z)2  0 vớix ; z Dấu bằng xảy ra khi x=z (y-z)2  0 với z; y Dấu bằng xảy ra khi z=y Vậy x 2 + y 2 + z 2  xy+ yz + zx. Dấu bằng xảy ra khi x = y =z b)Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 - ( 2xy – 2xz +2yz ) = x 2 + y 2 + z 2 - 2xy +2xz –2yz = ( x – y + z) 2  0 đúng với mọi x;y;z  R Vậy x 2 + y 2 + z 2  2xy – 2xz + 2yz đúng với mọi x;y;z  R Dấu bằng xảy ra khi x+y=z c) Ta xét hiệu: x 2 + y 2 + z 2 +3 – 2( x+ y +z ) = x 2 - 2x + 1 + y 2 -2y +1 + z 2 -2z +1 = (x-1) 2+ (y-1) 2+(z-1) 2  0. Dấu(=)xảy ra khi x=y=z=1 Ví dụ 2: chứng minh rằng : 2 2 a2  b2  a  b  a2  b2  c2  a  b  c  a)   ; b)   c) Hãy tổng quát bài 2  2  3  3 toán Giải: 2 a2  b2  a  b  a) Ta xét hiệu   2  2  =  2 a2  b2 a 2  2ab  b 2 1  1  = 2a 2  2b 2  a 2  b 2  2ab = a  b 2  0 4 4 4 4 2 a2  b2  a  b  Vậy   . Dấu bằng xảy ra khi a=b 2  2  b)Ta xét hiệu 2 2a2  b2  c2  a  b  c  1 3   3 2  2 2  = a  b   b  c   c  a   0 .Vậy  9  2a2  b2  c2  a  b  c    3  3  Dấu bằng xảy ra khi a = b =c 2 a 2  a 2  ....  a n  a1  a 2  ....  a n  2 2c)Tổng quát 1   n  n  Tóm lại các bước để chứng minh A  B theo định nghĩa Bước 1: Ta xét hiệu H = A - B Bước 2:Biến đổi H=(C+D) 2 hoặc H=(C+D) 2 +….+(E+F) 2 Bước 3:Kết luận A  BVí dụ 1: Chứng minh m,n,p,q ta đều có : m 2 + n 2 + p 2 + q 2 +1 m(n+p+q+1) Giải:  m2   m2   m2   m2   ...