Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 13

Một trong những nhiệm vụ chính của Cơ học lượng tử là phải giải thích được cấu tạo và tính chất của các nguyên tử. Ở đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển động electron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tử
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 13 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 13MỘT TRƯỜNG HỢP RIÊNG QUAN TRỌNG CỦA TRƯỜNG XUYÊN TÂM Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namMột trong những nhiệm vụ chính của Cơ học llượng tử làMột trong những nhiệm vụ chính của Cơ học ượng tử làphảii giảii thích được cấu tạo và tính chất của các nguyênphả giả thích được cấu tạo và tính chất của các nguyêntửtửỞ đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển độngỞ đây, ta xét một mô hình đơn giản của chuyển độngelectron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tửelectron trong trường Coulomb của hạt nhân nguyên tửPhần cuốii bài này dành riêng cho trường hợp đơn giảnPhần cuố bài này dành riêng cho trường hợp đơn giảnnhất: Nguyên tử hydrogen.nhất: Nguyên tử hydrogen. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulombcủa điện tích khác.2. Các số lượng tử và hàm trạng thái3. Phân bố xác suất theo khoảng cách, kinh độ và vĩ độ 4. Nguyên tử hydrogen Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. Chuyển động của một điện tích trong trường lực Coulombcủa điện tích khác.Như đã thấy, nếu hàm riêng của toán tử năng lượng trong trườngxuyên tâm U(r) là ψ = R(r )Ylm (θ , ϕ ) thì chỉ có R(r) mới phụ thuộc vào biểu thức cụ thể của U(r).Vì vậy, phương trình chuyển động trong trường xuyên tâm cụ thểthực chất quy về phương trình cho R(r).Xét trường hợp đặc biệt:Chuyển động của electron (với điện tích –e) trong trườngCoulomb của điện tích hạt nhân (với điện tích +Ze) đặt cố địnhtại gốc tọa độ Ho ng Duc Unive rs ity 1 d ρ l (l + 1) 2 2µ 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City,2 Thanh hoa, Viet nam [ E − U ( r )] ρ = 0 − 3 ρ+ 2 r dr r  rHàm thế năng trong trường hợp này là: Ze 2 U (r ) = − (13.1) rvà phương trình cho ρ = rR sẽ là: d 2 ρ  2 µE 2 µZe 2 l (l + 1)  + 2 + 2 −   ρ = 0 (13.2) dr 2   r r  2 Ở đây ta chỉ quan tâm đến trường hợp E < 0 µe 4Đặt E = − 2 .ε ; khi đó ε > 0.  µe 2 Tiếp theo, đặt ξ = 2 r , ta có:  d 2 ρ µ 2e4 d 2 ρ = 4 dr 2  dξ 2 Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City,µE 2hoa, Vietlnam 1)  d ρ  2 Thanh µZe (l + 2 2 + 2 + 2 −   2 2 ρ = 0  (13.2) dr   r r  và (13.2) trở thành d 2ρ  2 Z l (l + 1)  +  − 2ε +  − ρ = 0  (13.3) dξ 2  ξ ξ  2Xuất phát từ việc ρ có dạng tiệm cận ρ ~ r ~ ξ khi ξ nhỏ và l +1 l +1 r − − 2 mE ρ~e  = e −ξ 2ε Khi ξ nhỏ ta tìm nghiệm của (13.3) dưới dạng (a ) ∞ρ = ξ l +1e −ξ 2ε 0 + a1ξ + a2ξ 2 + ... = e −ξ 2ε ...