Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 24

Một lý thuyết như vậy, muốn được xây dựng một cách hoàn chỉnh phải dựa vào phép tính tensor. Tuy nhiên, vì ở đây ta chỉ làm quen với những ý tưởng ban đầu của Cơ học lượng tử tương đối tính nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày các vấn đề được quan tâm ở dạng sơ khai gần giống như trong...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 24 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bài 24 ĐỐI XỨNG HOÁ TƯƠNG ĐỐI TÍNH. PHƯƠNG TRÌNH KLEIN-GORDON Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namTrong chương này, ta sẽ xây dựng Cơ học lượng tử sao cho nó phù hợp vớinhững yêu cầu của lý thuyết tương đối (Special Relativity Theory)Một lý thuyết như vậy, muốn được xây dựng một cách hoàn chỉnh phải dựa vàophép tính tensor.Tuy nhiên, vì ở đây ta chỉ làm quen với những ý tưởng ban đầu của Cơ họclượng tử tương đối tính nên chúng tôi sẽ chỉ trình bày các vấn đề được quantâm ở dạng sơ khai gần giống như trong các công trình ban đầu của P. Dirac. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam1. Nguyên lý tương đối và các hệ quả quan trọngNhư đã biết, A. Einstein đã xây dựng lý thuyết tương đối, xuất phát từ haitiên đề sau đâyTiên đề 1: Mọi định luật của Vật lý học đều như nhau trong mọihệ qui chi ếuquán tính. .Nói chính xác hơn, nếu phương trình mô tả mối liên hệ của một số đạilượng vật lý ở trong hệ quy chiếu quán tính này có dạng như thế nào thì khichuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác nó cũng phải như vậy.Tiên đề 2: Vận tốc ánh sang trong chân không là như nhau đối với m ọi h ệquy chiếu quán tính. Sau đây là những hệ quả quan trọng mà ta sẽ dùng đến. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Hệ quả 1: Giữa năng lượng E, xung lượng P và khối lượng m của mộthạt có mối liên hệ sau: E 2 − c 2 p 2 = m2c 4(Chú ý rằng ở đây khi nói “khối lượng” ta luôn hiểu đó là “khối lượng nghỉ”,và sẽ không nói đến “khôí lượng động”). Khi hạt có vận tốc bằng 0 (đối với hệ quy chiếu quán tính S) thì ta có E=mc2 ; đay làcông thức vĩ đại của A. EinsteinHệ quả 2: Trong mỗi phương trình vật lý mô tả một định luật cơ bản, cácbiến số không gian x, y, z và biến số thời gian t đều phải tham gia cùng vớimột bậc; ví dụ, trong phương trình sóng điện từ: ψ 2 2 ψ 2 ψ 2 ψ + 2 + 2 − 2 2 =0 x2 y z c t Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam các biến số x, y, z, t đều có mặt như những biến số của đạo hàm bậc 2. Chú ý rằng ta chỉ yêu cầu tính chất cùng bậc đối với x, y, z, t trong những phương trình mô tả một chuyển động cụ thể, ví dụ, chuyển động nhanh dần đều2. Phương trình Klein-Gordon Phương trình Schrodinger cho hạt tự do là: ∂ψ p2 ˆ i = ψ (24.1) h ∂t 2m ay ∂ψ  ∂ ψ ∂ ψ ∂ ψ 2 2 2 2  i =  2 + 2 + 2  (24.2) ∂t 2m  ∂x  ∂y ∂z  Phương trình này không bình đẳng về bậc đối với các biến số không gian vàthời gian, và điều này dẫn đến tính không bất biến của nó khi chuyển hệ quychiếu Vì vậy, không thể dùng nó trong một lý thuyết tương đối tính. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namĐể “đối xứng hoá tương đối tính” có hai cách. ˆ  2  ∂2 ∂2 ∂2 Cách thứ nhất là thay haminltonian H =  2 + 2 + 2  2m  ∂x  ∂y ∂z   bởi một toán tử chứa , , x y z một cách tuyến tính, nghĩa là toán tử có dạng α +β +γ x y z trong đó α , β , γ có thể là các toán tử không lien quan đến các biến số x, y, z (nhưng không thể là các số)Cách này đã được thực hiện bởi P. A. M. Dirac và nó dẫn đến phươngtrình mô tả hạt có spin bán nguyên. Ta sẽ xét cách này sau. Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ 2 Cách thứ hai là thay vế trái của (24.2) bởi biểu thứ chứa t2sao cho phương trình phù hợp với các quan điểm của lý thuyết tương đối.Ta sẽ thực hiện cách này ngay bây giờ và xem phương trình nhận được mô tảnhững hạt tự do nào. Tương ứng với hệ thức năng lượng: E 2 − c 2 p 2 = m2c 4ta sẽ yêu cầu hàm trạng thái ψ thoả mãn phương trình: ( ˆ ) H 2 − c 2 p 2 ψ = m2 c 4ψ ˆ (24.3) trong đó ˆ H là toán tử năng lượng. Vì cpx, cpy, cpz, và E là các thành phần của vector bốn chiều Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ∂ ∂ ∂ mà cp x = −i c cp y = −i ...