Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 6

Trong Đại số tuyến tính, mỗi toán tử (hay ánh xạ tuyến tính) đều được biểu diễn bởi một ma trận, nếu trong các không gian vector đã cho sẵn các cơ sở. Cách biểu diễn tương tự cũng có thể thực hiện với toán tử trên các không gian hàm; chỉ có điều ở đây ma trận sẽ có cấp vô hạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng cơ học lượng tử - Nguyễn Văn Khiêm : Bài 6 Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam C¬ häc lîng tö Ng uyÔn V¨n Khiªm Ho ng Duc Unive rs ity307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Bµi 6 d¹ng ma trËn c ña to¸n tö Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam Tro ng §¹i s è tuyÕn tÝnh, mç ii to ¸n tö (hay ¸nh x¹ tuyÕn Tro ng §¹i s è tuyÕn tÝnh, mç to ¸n tö (hay ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh) ®Òu ®îc biÓu diÔn bë ii mé t ma trËn, nÕu tro ng tÝnh) ®Òu ®îc biÓu diÔn bë mé t ma trËn, nÕu tro ng c ¸c kh«ng g ian ve c to r ®· c ho s ½n c ¸c c ¬ s ë .. c ¸c kh«ng g ian ve c to r ®· c ho s ½n c ¸c c ¬ s ë C¸c h biÓu diÔn t¬ng tù c ò ng c ã thÓ thùc hiÖn víi to ¸n C¸c h biÓu diÔn t¬ng tù c ò ng c ã thÓ thùc hiÖn víi to ¸n tö trªn c ¸c kh«ng g ian hµm; c hØ c ã ®iÒu ë ®©y ma tö trªn c ¸c kh«ng g ian hµm; c hØ c ã ®iÒu ë ®©y ma trËn s Ï c ã c Êp v« h¹n. trËn s Ï c ã c Êp v« h¹n. 1. C¸c p hÇn tö m a trËn c ña m é t to ¸n tö ˆ Tríc hÕt, ta xÐt mét to¸n töM t¸c dông trong kh«ng gian c¸c hµm ψ víi biÕn vector r  Trêng hîp tæng qu¸t ® xÐt t¬ tù mµ kh«ng cã khã khan îc nggi. ψ Òu cã thÓ viÕt ® díi d¹ng: ® îc Gia sö mçi hµm ψ= cnψ n (6.1) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le LaithÊy to¸n tö vector tho¶City, Thanh hoa, Viet nam DÔ Str. Thanh Hoa m·n yªu cÇu trªn, chÝnh lµ to¸n tö trong ® ψ 1 ,ψ 2 ,... c¸c hµm cho tríc thoa m·n ® ã lµ iÒu kiÖn trùc giaovµ chuÈn ho¸, cßn c 1, c 2, ... x¸c ® ψ Þnh theo Khi ® sè phøc . ã,  ˆ  ∫ψ (r )Mψ n (r )dv * m ψ ® gäi lµ phÇn tö ma trËn giua hai tr¹ng th¸i m vµ ψ n îc vµ ký hiÖu lµ: mM n Nh vËy:  ˆ  m M n = ∫ψ (r )Mψ n (r )dv * m (6.2) Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam §©y c hÝnh lµ c «ng© giê ta sÏ thÓ hiÖn t¸c ® y éng cña to¸n tö bëi c¸c phÇn tö ma trËn. � � thø c thÓ hiÖn t¸c Gi¶ sö M � cnψ n � � nψ n ˆ � = d (6.3) �n � n ng c ña M ®é ˆ qua hay � n Mψ n = c ¸cdphÇn (6.4) trËn. c ˆ n � nψ n tö ma n Nh© 2 vÕ cña (6.4) víi n ψm *tÝch ph© theo toµn bé kh«ng gian vµ chó ý ® ® n Õn iÒu kiÖn chuÈn   ∫ψ (r )ψ n (r )dv = δ mn * m ta cã: ∑n c n ∫ψ Mψ n dv = ∑ d nδ mn ˆ * m n hay: m M n cn = d n (6.5) n Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet nam ψ B© giê ta xÐt trêng hîp khi mäi hµm y ® khai triÓn ® díi d¹ng: Òu îc   ψ (r ) = ∫ c(λ )ψ (λ , r )dλ (6.6) ã n λong ® tÝch ph© lÊy theo mét tËp hîp liªn tôc cña kh«ng gian biÕn  vµ c¸c hµm ψ (λ , r ) còng thoa m·n ®iÒu kiÖn chuÈn ho¸:   ∫ψ (λ, r )ψ (µ, r )dv = δ (λ − µ ) * Ho ng Duc Unive rs ity 307 Le Lai Str. Thanh Hoa City, Thanh hoa, Viet namKhi ® phÇn tö ma trËn cña to¸n tö ˆ giua hai tr¹ng th¸iψ λ vµψ µ ã, M lµ:  ˆ  λ M µ = ∫ψ (λ , r )Mψ ( µ , r )dv * ...