Bài giảng Đại số A1: Chương 1 - Lê Văn Luyện

Bài giảng Đại số A1: Chương 1 cung cấp cho người đọc những kiến thức như: Ma trận; Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng; Hệ phương trình tuyến tính; Ma trận khả nghịch; Phương trình ma trận. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Đại số A1: Chương 1 - Lê Văn Luyện 4. Định lý cơ bản của Đại số Bài giảng môn học Đại số A1 Chương 1: MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH Lê Văn Luyện lvluyen@yahoo.com http://www.math.hcmus.edu.vn/∼lvluyen/09tt Đại học Khoa Học Tự Nhiên Tp. Hồ Chí Minh Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 25 / 254 4. Định lý cơ bản của Đại số Nội dung Chương 1. MA TRẬN VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 2. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 3. Hệ phương trình tuyến tính 4. Ma trận khả nghịch 5. Phương trình ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 26 / 254 1. Ma trận 1. Ma trận 1.1 Định nghĩa và ký hiệu 1.2 Ma trận vuông 1.3 Các phép toán trên ma trận Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 27 / 254 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Định nghĩa. Một ma trận cấp m × n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dòng, n cột với mn hệ số trong R có dạng   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A=  .................... .  am1 am2 . . . amn Viết tắt: A = (aij )m×n hay A = (aij ), trong đó aij ∈ R. aij hay Aij là phần tử ở vị trí dòng i cột j của A Mm×n (R) là tập hợp tất cả những ma trận cấp m × n trên R. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 28 / 254 1. Ma trận 1.1. Định nghĩa và ký hiệu Ví dụ.     1 2 1 2 3 A= ∈ M2×3 (R); B =  0 1  ∈ M3×2 (R). 0 1 2 2 3 . Ma trận có các phần tử bằng 0 được gọi là ma trận không , ký hiệu 0m×n ( hay 0) Ví dụ.   0 0 0 0 03×4 = 0 0 0 0  0 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 29 / 254 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A ∈ Mn×n (R) (số dòng bằng số cột) thì A được gọi là ma trận vuông .   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A=  ................... .  an1 an2 . . . ann Mn (R): Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n trên R. Ví dụ.     −1 3 2 0 0 0 A =  2 −1 1  ∈ M3 (R); 03 =  0 0 0  . 5 2 3 0 0 0 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 30 / 254 1. Ma trận 1.2. Ma trận vuông Định nghĩa. Nếu A = (aij ) ∈ Mn×n (R) thì đường chứa các phần tử a11 , a22 , . . . , ann được gọi là đường chéo chính hay đường chéo của A.   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A=  ................... .  an1 an2 . . . ann Ví dụ.   1 3 5 A =  −2 −3 3  . 2 −2 1 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 31 / 254 1. Ma trận • Nếu các phần tử nằm dưới đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i > j) thì A được gọi là ma trận tam giác trên. • Nếu các phần tử nằm trên đường chéo của A đều bằng 0 (nghĩa là aij = 0, ∀i < j) thì A được gọi là ma trận tam giác dưới . • Nếu mọi phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 thì A (nghĩa là aij = 0, ∀i 6= j) được gọi là ma trận đường chéo, ký hiệu diag(a1 , a2 , . . . , an ).     1 3 5 1 0 0 Ví dụ. A =  0 −3 3  , B =  −2 0 0 . 0 0 1 −1 2 −4   −1 0 0 C = diag(−1, 0, 5) =  0 0 0 . 0 0 5 Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 32 / 254 1. Ma trận Ma trận đơn vị Ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường chéo bằng 1, các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng 0 được gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu In (hoặc I.) Ví dụ.     1 0 0 1 0 I2 = ; I3 =  0 1 0  . 0 1 0 0 1 Nhận xét. Ma trận A là ma trận đường chéo khi và chỉ khi vừa là ma trận tam giác vừa là ma trận tam giác dưới. Lê Văn Luyện (ĐHKHTN HCM) Ma trận và Hệ PT tuyến tính 06/04/2010 33 / 254 1. Ma trận 1.3. Các phép toán trên ma trận a) So sánh hai ma trận Cho A, B ∈ Mm×n . Khi đó, nếu aij = bij , ∀i, j thì A và B được gọi là hai ma t ...