Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh

Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Chuỗi lũy thừa có nội dung trình bày về chuỗi lũy thừa - miền hội tụ, chuỗi lũy thừa – bán kính hội tụ, miền hội tụ; chuỗi lũy thừa – tính tổng chuỗi, chuỗi Taylor - Maclaurint.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Giải tích 2: Chương 5.2 - Nguyễn Thị Xuân Anh §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụChuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng ﾥ n ﾥ n � an ( x - x0 ) hay � an x a0, a1, a2, .. là hằng sốn=0 n=0Số hạng tổng quát un(x)=an(x-x0)n (1) hoặc un(x)=anxn(2) phụ thuộc vào n và biến x, là 1 hàm lũy thừa theox hoặc (x-x0).Ta có thể đặt X=x-x0 và đưa dạng (1) về thành dạng(2) nên ta chỉ viết các kết quả sau đây với số hạngtổng quát dạng (2) §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ﾥ nMiền HT của chuỗi lũy thừa ﾥ an x là tập D nếu n=1 ﾥ n x = x0 ﾥ D chuỗi số ﾥ an x0 HT n=1 ﾥ nVí dụ: Chuỗi ﾥ x n=0Là chuỗi cấp số nhân nên HT khi và chỉ khi |x| §2. Chuỗi lũy thừa – Miền hội tụ ﾥ 1 Ví dụ: Tìm MHT của chuỗi ﾥ 2n n=11 + x 1 un ( x ) = xác định với mọi x 2n 1+ xKhi |x|1: Cho n ﾥ ﾥ un = : =ﾥ 2ﾥ ﾥ ﾥ 1+ x 2n (x ) 2 n � ﾥ ﾥ| x | �Chuỗi HT vì |x|>1 Vậy MHT là (-∞,-1)U(1,+ ∞) §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT ﾥ ﾥ an x nTổng quát: giả sử chuỗi lũy thừa n=1 HT tại x=x0, ﾥ ﾥ an x0 ntức là chuỗi số n=1 HT. Theo đkccsht ta đượclim an x0 n = 0 � $M > 0 : an x n 0 < M, nnﾥ ﾥBiến đổi số hạng tổng quát của chuỗi: n n n �� x n � � �� x� �� xan x = an x 0 � � = an x n 0 n � �< M � � = v n, n �� �� �� �0 � x �0 � x � �� x �0 � ﾥNếu |x| §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTĐịnh lý Abel : ﾥNếu chuỗi lũy thừa ﾥ an x HT tại x0 ﾥ 0 thì nó HTTĐ tại n n=1mọi điểm x �(- | x0 |,| x0 |) ﾥHệ quả: Nếu chuỗi n=1 an x PK tại x1 thì nó PK với mọi x thỏ n ﾥ |x|>|x1|Bán kính hội tụ (BKHT): ﾥSố R>0 sao cho chuỗi ﾥ an x n HT với mọi x: |x|R được gọi là BKHT của chuỗi §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTCách tìm BKHT của chuỗi lũy thừa ﾥlim n | a | ﾥnﾥ ﾥ n 1Đặt: r = ﾥ | a | Thì BKHT là R = r ﾥ lim n+1 ﾥnﾥ ﾥ ﾥ | an |Cách tìm MHT của chuỗi lũy thừaSau khi tìm xong BKHT, ta chỉ còn xét sự HT củachuỗi tại 2 điểm x=R và x=-R nữa là có kết luận §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HT Ví dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi sau ﾥ ﾥ xn 1. � ( nx )n 2. � n 2 n=1 n=1 2 .n1. Với chuỗi lũy thừa này, ta đang có an=nn: r = lim n | an | = lim n = +ﾥ � R = 0 nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ BKHT R=0 tức là MHT chỉ gồm 1 điểm duy nhất {0} 1 1 1 2. an = n 2 � lim n | a | = lim n n n 2 = �R =2 2 .n nﾥ ﾥ nﾥ ﾥ 2 .n 2 Khi x=2: ﾥ 1 là chuỗi số dương HT ﾥ 2 n=1 n ﾥ (- 1)n Khi x=-2: ﾥ 2 là chuỗi HTTĐ n=1 n Vậy MHT [-2,2] §2. Chuỗi lũy thừa – Bán kính HT, Miền HTVí dụ: Tìm BKHT, MHT của các chuỗi: n n ﾥ x ﾥ � +1 � n1. � n 2. � ﾥ ﾥ ﾥ ( x - 1)2n ﾥ n=1 3 + 5 n n=1 2 ...