Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2a - ThS. Lê Trường Giang

Chương 2a - Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất. Chương này cung cấp cho người học những kiến thức về: Biến ngẫu nhiên, luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên, hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên, hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 2a - ThS. Lê Trường Giang TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH-MARKETING KHOA CƠ BẢN BỘ MÔN TOÁN – THỐNG KÊ BÀI GIẢNGLÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Giảng viên ThS. Lê Trường Giang LÝ THUYẾT XÁC SUẤT & THỐNG KÊ TOÁN Chương 2BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI XÁC SUẤTBài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Biến ngẫu nhiên2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên4. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Biến ngẫu nhiêna. Định nghĩa Xét một phép thử trong không gian mẫu  . Hàm X được xác định X:   X   được gọi là biến ngẫu nhiên.(BNN là một số được gán cho từng kết quả của phép thử) Kí hiệu biến ngẫu nhiên bởi các chữ cái in hoa X, Y, Z,… Miền giá trị của hàm X kí hiệu là Im(X) Im  X   x  :  , X    x . Với a  Im  X  , tập  : X    a là một sự kiện ngẫu nhiên Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Biến ngẫu nhiêna. Định nghĩa Ví dụ 1. Xét phép thử Bernoulli, trong phép thử này chỉ có hai kết quả “thành công” kí hiệu là T và “thất bại” kí hiệu là T . Xác định một quy tắc X như sau: X T   1, X T   0, Khi đó X là một biến ngẫu nhiên và Im(X) = {0,1}Cho xác suất thành công là P T   q , xác suất thất bại là P T   1  q .   P  X  1  P  : X    1  P T   q , tương tự P  X  0   1  q . Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Biến ngẫu nhiênb. Phân loạiĐịnh nghĩa. BNN X thuộc loại rời rạc nếu Im(X) là tập hữu hạnhay vô hạn đếm được.Ví dụ 2.Thực hiện dãy phép thử Bernoulli, gọi X là BNN chỉ số lầnthực hiện phép thử cho đến khi xuất hiện lần thành công đầu tiên.Trong ví dụ này Im(X) = {1, 2, 3, …}, dó đó X là BNN rời rạc. P  X  k   q. 1  q  k 1 , k  1,2,...Định nghĩa. BNN X là liên tục nếu Im(X) là một khoảnghay đoạn số thực, và là tập vô hạn không đếm được.Ví dụ 3. BNN X chỉ thời gian xuất hiện hư hỏng lần đầu tiêncủa một chiếc máy điện thoại. Khi đó, BNN X thuộc loại liên tục Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất1. Biến ngẫu nhiên c. Chú ýBNN coi như được xác định nếu như ta biết được 2 yếu tố sau: Tập các giá trị của BNN, Các xác suất mà BNN nhận giá trị thuộc tập đó. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất2. Luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên+ Luật phân phối xác suất của BNN là một biểu đồ, trong đóchỉ ra Các giá trị có thể nhận được của BNN, Xác suất tương ứng để BNN nhận các giá trị đó.+ Luật phân phối xác suất thường được thể hiện dưới haihình thức: hàm mật độ xác suất và hàm phân phối xác suất. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa. BNN X rời rạc, Im(X) = {x1, x2, …, xn,…} ứng với mỗi giá trị của X là một xác suất fX  x   P  X  x  , x  Im  X  . Hàm fX được gọi là hàm mật độ xác suất của BNN X . Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau i, fX  x   0, x  Im  X  . ii,  fX  x   1 . xIm X  Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên BNN X có hữu hạn giá trị, Im(X) = {x1, x2, …, xn}. Bảng phân phối xác suất của X dạng như sau X x1 x2 … xn pi  fX  xi   P  X  xi  . … Tập A  Im  X  , P  X  A    f x . P p1 p2 pn xA Ví dụ 6. Lô hàng có 20 sản phẩm giống nhau, có 5 sản phẩm kém chất lượng. Lấy ngẫu nhiên một lần 3 sản phẩm. Lập bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X chỉ số sản phẩm kém chất lượng và tính xác suất P  X  2  . Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiênVí dụ 6B. Một xạ thủ có 4 viên đạn, bắn lần lượt từng viên vào mộtmục tiêu một cách độc lập. Xác suất trúng mục tiêu ở mỗi lần bắn là0,7. Nếu có 1 viên trúng mục tiêu hoặc hết đạn thì dừng. Gọi X là sốviên đạn đã bắn.a) Lập bảng phân phối xác suất của X ?b) Tính P  2  X  4  ? Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên a. Biến ngẫu nhiên liên tục Định nghĩa. BNN X liên tục, với hai giá trị thực a  b , xác suất của sự kiện a  X  b là P  a  X  b  . Giả sử một hàm f không âm, thỏa P  a  X  b    f  x  dx. b a Hàm f như trên được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Hàm mật độ xác suất thỏa mãn các điều kiện sau  i. f  x   0, x  . ii.  f  x  dx  1. Ngược lại, f thỏa đồng thời i và ii thì f là hàm mật độ xác suất. Bài 1. Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất3. Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên BNN X là biến ngẫu nhiên liên tục thì P  X  a   0, a  .Suy ra P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b   P  a  X  b  . y P(a ≤ X ≤ b) Xác suất P  a  X  b    f  x  dx b f(x) a là miền diện tích tô đen a O b x Ví dụ 7. Cho X là BNN có hàm mật độ xác suất như sau ax  2 neáu x  [0,1]  a. Xaùc ñònh a ? f  x ...