Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Phạm Thị Hồng Thắm

Chương 7 Ước lượng các tham số của biến ngẫu nhiên thuộc bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán, trong chương học này trình bày nội dung kiến thức về: Phương pháp ước lượng điểm, phương pháp hàm ước lượng, ước lượng không chệch, ước lượng hiệu quả,... Để tìm hiểu rõ hơn nội dung cụ thể, mời các bạn cùng tham khảo bài giảng dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Lý thuyết xác suất và thống kê toán: Chương 7 - Phạm Thị Hồng ThắmChương 7: Ư C LƯ NG CÁC THAM S C A BI NNG U NHIÊNChương 7: Ư C LƯ NG CÁC THAM S C A BI NNG U NHIÊN Gi s đã bi t quy lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X song chưa bi t tham s θ nào đó c a nó. V n đ đ t ra là ph i xác đ nh m t cách g n đúng θ (ư c lư ng).Chương 7: Ư C LƯ NG CÁC THAM S C A BI NNG U NHIÊN Gi s đã bi t quy lu t phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X song chưa bi t tham s θ nào đó c a nó. V n đ đ t ra là ph i xác đ nh m t cách g n đúng θ (ư c lư ng). Có 2 phương pháp đ ư c lư ng: Ư c lư ng đi m: Dùng m t giá tr đ thay th cho tham s c n ư c lư ng. Ư c lư ng b ng kho ng tin c y: Ch ra m t kho ng ch a tham s đó v i m t xác su t cho trư c.PHƯƠNG PHÁP Ư C LƯ NG ĐI MPHƯƠNG PHÁP Ư C LƯ NG ĐI M Đ ư c lư ng tham s θ c a X (t ng th ), ngư i ta xu t phát t ˆ ˆ tham s θ tương ng c a m u sao cho θ mang nhi u thông tin nh t v θ, đ có th x p x θ m t cách t t nh t (dùng m t tham s c a m u thay cho m t tham s chưa bi t c a t ng th ).PHƯƠNG PHÁP Ư C LƯ NG ĐI M Đ ư c lư ng tham s θ c a X (t ng th ), ngư i ta xu t phát t ˆ ˆ tham s θ tương ng c a m u sao cho θ mang nhi u thông tin nh t v θ, đ có th x p x θ m t cách t t nh t (dùng m t tham s c a m u thay cho m t tham s chưa bi t c a t ng th ). Có hai phương pháp ư c lư ng đi m: Phương pháp hàm ư c lư ng Phương pháp ư c lư ng h p lý t i đaPhương pháp hàm ư c lư ngPhương pháp hàm ư c lư ng Khái ni m L p m u ng u nhiên : W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Ch n l p th ng kê: G = f (X1 , X2 , ..., Xn ) đ c trưng tương ng v i θ.Phương pháp hàm ư c lư ng Khái ni m L p m u ng u nhiên : W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Ch n l p th ng kê: G = f (X1 , X2 , ..., Xn ) đ c trưng tương ng v i θ. Đ nh nghĩa Th ng kê G đư c g i là hàm ư c lư ng c a θ n u f (x1 , ..., xn ) ≈ θ v i m i m u c th w = (x1 ,. . . , xn ).Phương pháp hàm ư c lư ng Khái ni m L p m u ng u nhiên : W = (X1 , X2 , . . . , Xn ). Ch n l p th ng kê: G = f (X1 , X2 , ..., Xn ) đ c trưng tương ng v i θ. Đ nh nghĩa Th ng kê G đư c g i là hàm ư c lư ng c a θ n u f (x1 , ..., xn ) ≈ θ v i m i m u c th w = (x1 ,. . . , xn ). Chú ý: Có vô s cách ch n th ng kê đ có th dùng làm ư c lư ng c a θ. Vì v y c n đưa ra các tiêu chu n đ đánh giá ch t lư ng th ng kê: Ư c lư ng không ch ch Ư c lư ng hi u qu Ư c lư ng v ngƯ c lư ng không ch chƯ c lư ng không ch ch Đ nh nghĩa Th ng kê G c a m u đư c g i là ư c lư ng không ch ch c a tham s θ c a bi n ng u nhiên g c X n u E(G) = θ. N u E (G ) = θ, G đư c g i là ư c lư ng ch ch c a θ.Ư c lư ng không ch ch Đ nh nghĩa Th ng kê G c a m u đư c g i là ư c lư ng không ch ch c a tham s θ c a bi n ng u nhiên g c X n u E(G) = θ. N u E (G ) = θ, G đư c g i là ư c lư ng ch ch c a θ. Ví d ¯ ¯ E(X ) = µ → Trung bình m u X là ư c lư ng không ch ch c a kỳ v ng toán µ. E(f) = p → t n su t m u f là ư c lư ng không ch ch c a xác su t bi n ng u nhiên g c p. E (S 2 ) = σ 2 ; E (S ∗2 ) = σ 2 → S 2 và S ∗2 là ư c lư ng không ch ch c a σ 2 .Ư c lư ng không ch ch Ví d Gi s X ∼ N(µ,σ 2 ). L y m u W=(X1 , ..., X6 ). X1 + X3 + X5 X2 + 2X4 + 3X6 X1 = ; X2 = ; 3 6 ¯ ¯ a) X1 , X2 có là ư c lư ng không ch ch c a µ. b) Trong 2 ư c lư ng trên, ư c lư ng nào có phương sai nh hơn.Ư c lư ng không ch ch Ví d Gi s X ∼ N(µ,σ 2 ). L y m u W=(X1 , ..., X6 ). X1 + X3 + X5 X2 + 2X4 + 3X6 X1 = ; X2 = ; 3 6 ¯ ¯ a) X1 , X2 có là ư c lư ng không ch ch c a µ. b) Trong 2 ư c lư ng trên, ư c lư ng nào có phương sai nh hơn. Gi i ¯ X1 + X3 + X5 1 3E (X ) E (X1 ) = E = (EX1 + EX3 + EX5 ) = =µ 3 3 3 ¯ ¯ ¯ Tương t , E (X2 ) = µ. V y X1 và X2 đ u là ư c lư ng không ch ch c a µ.Ư c lư ng không ch ch Ví d b) ¯ 1 σ2 ¯ 1 14σ 2 V ( X1 ) = · 3σ 2 = ; V (X2 ) = (σ 2 + 4σ 2 + 9σ 2 ) = 9 3 36 36 ¯ ¯ ¯ ¯ ⇒ V (X1 ) < V (X2 ) ⇒ X1 có phương sai nh hơn X2 .Ư c lư ng hi u quƯ c lư ng hi u qu Đ nh nghĩa Th ng kê G c a m u đư c g i là ư c lư ng hi u qu c a tham s θ c a bnn g c X n u nó là ư c lư ng không ch ch và có phương sai nh nh t so v i m i ư c lư ng không ch ch khác đư c xây d ng trên cùng m u đó.Ư c lư ng hi u qu Đ nh nghĩa Th ng kê G c a m u đư c g i là ư c lư ng hi u qu c a tham s θ c a bnn g c X n u nó là ư c lư ng không ch ch và có phương sai nh nh t so v i m i ư c lư ng không ch ch khác đư c xây d ng trên cùng m u đó. Đ ki m tra tính hi u qu nh t c a ư c lư ng không ch ch, ngư i ta dùng b t đ ng th c Crammer - Rao: ˆ 1 V (θ) ≥ 2 ∂ ln f (x,θ) nE ∂θ trong đó f (x, θ) là bi u th c xác su t c a X trong trư ng h p nó r i r c và hàm m t đ xác su t c a X trong trư ng h p nó liên t c.Ư c lư ng hi u qu Ví d Gi s X ∼ N(µ, σ 2 ) ¯ ¯ E (X ) = µ, suy ra X là ư c lư ng không chênh l ch c a µ, hơn n a V (X ¯ ) = σ2 = min (= v ph i b t đ ng t ...