Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (p3)

Bài giảng môn "Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân" cung cấp cho người học các kiến thức: Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằng, hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng, phương trình khử, phương pháp trị riêng vecto riêng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng môn Giải tích 1 - Chương 3: Đạo hàm và vi phân (p3) Hệ phương trình tuyến tính hệ số hằngĐịnh nghĩa: Hệ ptvp là hệ gồm các ptvp chứa đạohàm của các hàm cần tìmVí dụ: Các hệ ptvp F (t , x, y, x , y ) = 0 Trong đóHệ 2 ptvp cấp 1 G (t , x, y, x , y ) = 0t là biến độc lập, x(t), y(t) là các hàm cần tìm.Hệ 3 ptvp cấp 1 dạng chính tắc x = f (t , x, y, z ) y = g (t , x, y, z ) z = h(t , x, y, z ) Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằngHệ ptvp tuyến tính cấp 1 hệ số hằng là hệ ptvp có dạng dx1 = a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn + f1 (t ) dt dx2 = a21 x1 + a22 x2 + ... + a2 n xn + f 2 (t ) dt ............................................................. dxn = an1 x1 + an 2 x2 + ... + ann xn + f n (t ) dtTrong đó fi(t), i=1,2, …,n là các hàm liên tục trong (a,b) Hệ pt tuyến tính cấp 1hệ số hằng a11Đặt � a12 ... a1n � �x1 (t ) � �f1 (t ) � � � �x2 (t ) � �f 2 (t ) � a21 a22 ... a2 nA=� �X (t ) = � �F (t ) = � � �: : : : � �: � �: � � � � � xn (t ) � � � �an1 an 2 ... ann � � �f n (t ) �Thì hpt trên có thể viết thànhdX = AX + F (t )(1) Hệ không thuần nhất dtdX = AX (2) Hệ thuần nhấtdtNghiệm của hệ là 1 hàm vecto trong (a,b) gồm các hàmkhả vi, liên tục trong (a,b) và thỏa hệ Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử dTa kí hiệu phép lấy đạo hàm là D = Suy ra dt 2 3 2 d 3 d D = 2 ,D = 3 ,... dt dtVí dụ với hệ ptvp sau x = 2 x + y + et ( D − 2) x − y = et Ta viết thành y = x − 2y + t − x + ( D + 2) y = tSau đó, ta dùng phương pháp khử như đối với hptđại số tuyến tính Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử t x1 = 3x1 + x2 + e Ví dụ: Giải hpt x2 = 2 x1 + 2 x2 + t t Ta viết lại hpt ( D − 3) x1 − x2 = e (1) −2 x1 + ( D − 2) x2 = t (2) Lấy 2*(1)+(D-3)*(2) để khử x1, ta được : t (−2 + ( D − 2)( D − 3)) x2 = 2e + ( D − 3)t 2 t D x2 − 5 Dx2 + 4 x2 = 2e − 3t + 3 tViết lại kí hiệu thường x2 − 5 x2 + 4 x2 = 2e − 3t + 1Ta giải pt trên Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử tx2 − 5 x2 + 4 x2 = 2e − 3t + 1 t 4t 2 t 3 11x2 = C1e + C2e − te − t − 3 4 16 x2 t Thay vào pt (2) x1 = − x2 − 2 2 4t 1 t 1 t 1 41 x2 = C2e − C1e + e (t − 1) + t + 2 3 4 24 Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử x1 = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3 Ví dụ: Giải hpt x2 = −4 x1 − 6 x2 − 3x3 x3 = 3 x1 + 3 x2 + x3Ta viết lại hpt: ( D − 2) x1 − 4 x2 − 3 x3 = 0 (1) 4 x1 + ( D + 6) x2 + 3 x3 = 0 (2) −3 x1 − 3x2 + ( D − 1) x3 = 0 (3)Khử x3: (1)+(2) và 3*(3)-(D-1)*(2) ( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0 (−4( D − 1) − 9) x1 + (−( D − 1)( D + 6) − 9) x2 = 0 Hệ pt tuyến tính cấp 1 hệ số hằng – PP khử Hệ trên tương đương với: ( D + 2) x1 + ( D + 2) x2 = 0 (4) 2 (−4 D − 5) x1 + (− D − 5 D − 3) x2 = 0 (5) Khử x2: (D2+5D+3)*(4)+(D+2)*(5) 2 ( D + 5 D + 3)( D + 2) x1 + (−4 D − 5)( D + 2) x1 = 0 3 2 ( D + 3D − 4) x1 = 0 x1 + 3 x1 − 4 x1 = 0 t −2 t −2 t x1 = C1e + C2e + C3te t −2 t −2 tThay vào pt (4) để tìm x2: x2 = −C1e + C4e − C3te 1Thay vào (1) để tìm x3: x3 = C1e − (4C2 + C3 + 4C4 )e −2t t 3Hệ pt tt cấp 1 hệ số hằng – PP trị riêng vecto riêng dXHệ pt = AX + F (t ) dtVới A là ma trận thực, vuông chéo đượcTồn tại ma trận S khả nghịch sao cho A=SDS-1 dX −1Thay vào hpt = SDS X + F (t ) dt −1 dX −1 −1 S = DS X + S F (t ) dt dY −1 dX Thay vào hpt trênĐặt Y=S X -1 ...