Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 - TS. Nguyễn Quốc Lân

Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 trình bày phương pháp nội suy và bình phương cực tiểu. Nội dung chương này bao gồm: Nội suy đa thức Lagrange, sai số nội suy Lagrange, nội suy Newton (mốc cách đều), nội suy ghép trơn (Spline) bậc ba, bình phương cực tiểu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bài giảng Phương pháp tính: Chương 3 - TS. Nguyễn Quốc Lân BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK ------------------------------------------------------------------------------------- PHƯƠNG PHÁP TÍNH – HK 2 0506 CHƯƠNG 3 NỘI SUY VÀ BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU • TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (04/2006) NỘI DUNG -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1- NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE 2- SAI SỐ NỘI SUY LAGRANGE 3- NỘI SUY NEWTON (MỐC CÁCH ĐỀU) 4- NỘI SUY GHÉP TRƠN (SPLINE) BẬC BA 5- BÌNH PHƯƠNG CỰC TIỂU BÀI TOÁN TỔNG QUÁT VỀ NỘI SUY --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Nội suy: Bảng chứa (n+1) cặp dữ liệu { (xk, yk) }, k = 0 → n Moác noäi suy x0 x1 … x = α ∉{ xk } … xn-1 xn Giaù trò noäi y0 y1 … y=? … yn-1 yn suy xk : mốc nội suy, yk : giá trị (hàm) nội suy Từ bảng này, nội suy giá trị ybảng tại điểm x = α? Nội suy đa thức: Xác định đa thức y = P(x) thoả điều kiện nội suy P(xk) = yk, k = 0 … n ⇒ ybảng ≈ P(α) NỘI SUY ĐA THỨC LAGRANGE --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Bảng chứa (n+1) cặp số liệu {(xk,yk)} , k = 0 → n ∃ ! đa thức L(x), bậc ≤ n, thoả đ/kiện nội suy L(xk) = yk, k = 0 … n Tìm đa thức nội suy Minh hoạ bảng 3 dữ liệu: {(xk,yk)} , k=0→2 Moác noäi suy xk 2 2.5 4 Tại x = 3, ybảng ≈ ? Giaù Trò noäi suy yk 0.5 0.4 0.25 Cách 1: 3 mốc ⇒ n = 2 ⇒ L(x) = ax2 + bx + c (3 hệ số cần tìm)  L( 2 ) = 0.5 4a + 2b + c = 0.5    L( 2.5) = 0.4 ⇔ 6.25a + 2.5b + c = 0.4  L( 4 ) = 0.25 16a + 4b + c = 0.25   ybảng ≈ L(3) = 0.325 VÍ DỤ SAI SỐ ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ max f ( n +1) ( x ) Sai số: f ( x) − L( x) ≤ [ a ,b ] ( x − x0 )  ( x − xn ) = ∆ Noäi taïix ( n + 1)! suy Ước lượng sai số của việc xấp xỉ giá trị115 bằng đa thức nội suy Lagrange bậc hai hàm y = x xây dựng tại các mốc x0 = 100, x1 = 121, x2 = 144. Yêu cầu: Làm tròn kết quả (sai số) đến chữ số lẻ thứ 4 3 −52 Giải: f ( x ) = x ⇒ M = max f ( 3) ( x) = max x [ a ,b ] [ 100 ,144 ] 8 1 f (115) − L(115) ≤ M ⋅ ⋅ (115 − 100 )(115 − 121)(115 − 144 ) 3! Kết quả: Nhắc lại: Sai số: luôn làm tròn lên! NHIỀU MỐC → ĐA THỨC NỘI SUY CƠ SỞ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Đa thức nội suy cơ sở tại xk: Lk(xk) = 1, Lk(xi) = 0 ∀ i ≠ k Moác NS 2 2.5 4 3 mốc ⇒ 3 ĐT NSCS Giaù Trò NS 0.5 0.4 0.25 ÑTNSCS L0(x) 1 0 0 ( x − 2.5)( x − 4) L0 ( x) = ÑTNSCS L1(x) 0 1 0 ( 2 − 2.5)( 2 − 4) L( x ) ÑTNSCS L2(x) 0 0 1 L2 ( x ) ( x − 2)( x − 4) ( x − 2)( x − 2.5) L1 ( x ) L1 ( ...