Giáo trình Toán ứng dụng - CĐ Nghề Công Nghiệp Hà Nội

(NB) Giáo trình Toán ứng dụng được biên soạn nhằm mục đích phục vụ cho việc giảng dạy. Nội dung gồm có: Quan hệ - Suy luận toán học; Tính toán và xác suất; Ma trận; Phương pháp tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Toán ứng dụng - CĐ Nghề Công Nghiệp Hà Nội TRƯỜNG CAO ĐẲNG NGHỀ CÔNG NGHIỆP HÀ NỘI Hứa Thị An Lê Văn Hùng GIÁO TRÌNH Toán ứng dụng (Lưu hành nội bộ) Hà Nội năm 2012 Tuyên bố bản quyền Giáo trình này sử dụng làm tài liệu giảng dạy nội bộ trong trường cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội Trường Cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội không sử dụng và không cho phép bất kỳ cá nhân hay tổ chức nào sử dụng giáo trình này với mục đích kinh doanh. Mọi trích dẫn, sử dụng giáo trình này với mục đích khác hay ở nơi khác đều phải được sự đồng ý bằng văn bản của trường Cao đẳng nghề Công nghiệp Hà Nội Chương 1. Quan hệ - Suy luận toán học A. Quan hệ hai ngôi 1. Định nghĩa: Cho X là một tập hợp, ta nói S là một quan hệ hai ngôi trên X nếu S là một tập con của tích Descartes X 2 . Nếu hai phần tử a, b thỏa (a; b)  S thì ta nói a có quan hệ S với b. Khi đó, thay vì viết (a; b)  S ta có thể viết là aSb. 2.Ví dụ: - Quan hệ chia hết trong tập hợp số tự nhiên. - Quan hệ bằng nhau. - Quan hệ lớn hơn. 3. Một số quan hệ thường gặp: 3.1 Quan hệ tương đương: 3.1.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi trên tập X được gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa các tính chất sau: i) Phản xạ: xSx, với mọi x  X , ii) Đối xứng: Nếu xSy thì ySx, với mọi x, y  X . iii) Bắc cầu: Nếu xSy và ySz thì xSz với mọi x, y, z  X . Khi trên tập X đã xác định một quan hệ tương đương, khi đó thay vì viết xSy ta thường ký hiệu x  y . 3.1.2 Ví dụ: - Quan hệ bằng nhau ở các tập hợp số một quan hệ tương đương vì thỏa các tính chất phản xạ; đối xứng; bắc cầu. - Xét trong quan hệ S xác định bởi xSy  x 2  y 2  x  y là một quan hệ tương đương. - Gọi X là tập các đường thẳng trong mặt phẳng, quan hệ cùng phương của hai đường thẳng bất kỳ trong mặt phẳng là quan hệ tương đương. (Chú ý: Hai đường thẳng được gọi là cùng phương là hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.) - Quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong mặt phẳng không phải là quan hệ tương đương vì không thỏa tính phản xạ. - Quan hệ chia hết cho trong tập hợp số tự nhiên  không phải là quan hệ tương đương vì không có tính chất đối xứng. - Quan hệ “nguyên tố cùng nhau” trên tập hợp số tự nhiên  không là quan hệ tương đương vì không có tính chất bắt cầu. Ví dụ (2, 3) = 1; (4, 3) = 1 nhưng (4, 2)  1 . Cho S là một quan hệ tương đương trên tập X và x  X . Ta gọi tập hợp S ( x )  { y  X | y  x} là lớp tương đương của x theo quan hệ tương đương S. Khi đó ta có: - S ( x )   vì x  S ( x) . -  S ( x)  X . x X - x, y  X thì hoặc S(x) = S(y) hoặc S ( x)  S ( y )   . Từ tính chất trên ta nhận được một phân hoạch của X qua các lớp tương đương S(x). Tập hợp tất cả các lớp tương đương này được ký hiệu là X/S và gọi là tập thương của X qua quan hệ tương đương S. 3.2 Quan hệ thứ tự: 3.2.1 Định nghĩa: Một quan hệ hai ngôi S trên tập X được gọi là quan hệ thứ tự nếu quan hệ đó có các tính chất: phản xạ, bắc cầu và phản đối xứng (tức là nếu xSy và ySx thì suy ra x = y với mọi x, y  X ). Nếu tập X có một quan hệ thứ tự bộ phận S thì ta nói X là một tập được sắp thứ tự bởi S. Ta thường dùng ký hiệu  để chỉ một quan hệ thứ tự bộ phận. Với hai phần tử x, y  X , nếu x có quan hệ với y ta viết x  y (đọc là “x bé hơn hay bằng y”) hoặc viết y  x (đọc là “y lớn hơn hay bằng x”). Khi x  y thì thay cho x  y (hay y  x ) ta viết x < y (hay y > x) và đọc là “x bé hơn y” (hay “y lớn hơn x”). Quan hệ thứ tự  trong X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần (hay tuyến tính) nếu với mọi x, y  X ta đều có x  y hoặc y  x . Một quan hệ thứ tự không toàn phần gọi là quan hệ thứ tự bộ phận (hay từng phần). 3.2.2 Các phần tử đặc biệt. Quan hệ thứ tự tốt. Cho X là tập được sắp thứ tự bởi  và A là một tập con của X. Phần tử a  A được gọi là phần tử bé nhất (lớn nhất) của A nếu với mọi x  A thì a  x ( x  a ). Phần tử a  A được gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) của A nếu với mọi x  A, x  a  x  a,(a  x  a  x ) . Phần tử x0  X được gọi là cận dưới (cận trên) của A nếu với mọi a  A : x0  a(a  x0 ). Quan hệ thứ tự  trong X được gọi là một quan hệ thứ tự tốt nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử bé nhất. Khi đó, X gọi là được sắp tốt bởi  . Ví dụ: a) Cho X là một tập hợp, trên P(X) ta xét quan hệ bao hàm  . Ta chứng minh được đây là một quan hệ thứ tự bộ phận trên P(X). Ngoài ra, nếu X chứa ít nhất hai phần tử x  y thì quan hệ thứ tự trên không phải tuyến tính (hay quan hệ thứ tự toàn phần) vì {x} không so sánh được với {y}. b) Quan hệ thứ tự thông thường trên tập hợp các số nguyên  là một quan hệ thứ tự tuyến tính, nhưng không phải quan hệ thứ tự tốt vì không phải mọi tập con khác rỗng của  đều có ...